Ein Rhombus ist ein Parallelogramm mit vier gleich langen Seiten.
B
Zeichne den Rhombus mit der Seitenlänge $a = 4\cm$ und
der Höhe $h = 3,6\cm$.
Konstruiere die Diagonalen und den Inkreis.
Miss den Inkreisradius ab.
Die Höhe ist der Abstand der gegenüberliegenden Parallelen.
KB:
$\ol{AB} = a \Raq A, B$
$h$, Parallele
Zirkel: $k(A, a) \Raq D$
Zirkel: $k(B, a) \Raq C$
Der Inkreisradius beträgt $\quad$
$\rho = 1,8\cm$.
An Hand der Zeichnung erkennst Du weitere Eigenschaften des Rhombus:
Die Diagonalen des Rhombus halbieren einander
und stehen aufeinander normal.
Sie sind Symmetrieachsen des Rhombus.
Jeder Rhombus besitzt einen Inkreis.
Der Mittelpunkt des Inkreises ist der Schnittpunkt der Diagonalen.
Der Inkreisradius ist so groß wie die halbe Höhe des Rhombus.
Rechteck und Quadrat
B
Zeichne ein Rechteck mit den Seitenlängen $a = 5\cm$ und $b = 3\cm$.
Konstruiere den Umkreis.
Zeichne ein Quadrat mit der Seitenlänge $a = 3,5\cm$ und
konstruiere In- und Umkreis.
Rechteck und Quadrat sind Sonderformen des Parallelogramms.
Sie haben vier rechte Winkel und die Diagonalen sind gleich lang.
Parallelogramm
Rhombus:
Diagonalen normal aufeinander,
Inkreis
Rechteck:
Diagonalen gleich lang,
Umkreis
Quadrat:
Diagonalen normal aufeinander und gleich lang,
Inkreis und Umkreis
Jedes Quadrat ist zugleich ein spezieller Rhombus, ein spezielles Rechteck
und ein besonderes Parallelogramm.
Das Deltoid (Drachenviereck)
Vielleicht hast du schon einmal einen Drachen steigen lassen.
Die Form eines (üblichen) Drachens nennt man Deltoid.
Ein Deltoid ist ein Viereck mit zwei Paar gleich langen benachbarten Seiten.
Beschriftung:
Es gilt:
$ \quad a = d $
$ \quad b = c $
$ \quad \beta = \delta $
$ \quad e \perp f $
B
Zeichne ein Deltoid mit den Seitenlängen
$a = 4\cm$ und $b = 7\cm$ und der Diagonale $\ol{AC} = 8\cm$.
Konstruiere die Diagonalen und den Inkreis.
Miss die Länge der Diagonale $f$ und den Inkreisradius ab.
KB:
$\ol{AC} = e \Raq A, C$
Zirkel: $k(A, a) $
Zirkel: $k(C, b) \Raq B, D$
Du erinnerst dich sicher:
Der Inkreismittelpunkt ist der Schnittpunkt der Winkelsymmetralen (WIN).
Die Winkelsymmetralen von $\alpha$ und $\gamma$ fallen
mit der Diagonale $\ol{AC} = e$ zusammen.
Vergiss nicht, vor dem Zeichnen des Inkreises
die Normalabstände (Radien) zu allen Seiten zu konstruieren,
damit du die Berührpunkte kennst.
Die Länge der Diagonale $f$ ist $\quad$
$\ol{BD} = 7,0\cm$.
Der Inkreisradius beträgt $\quad$
$\rho = 2,5\cm$.
An Hand der Zeichnung erkennst Du weitere Eigenschaften des Deltoids.
Die Diagonalen des Deltoids stehen aufeinander normal.
Eine Diagonale ist eine Symmetrieachse,
die das Deltoid in zwei spiegelgleiche Dreiecke teilt.
Die andere Diagonale teilt das Deltoid
in zwei jeweils gleichschenkelige Dreiecke.
Jedes Deltoid besitzt einen Inkreis.
Der Mittelpunkt des Inkreises liegt auf der Symmetrieachse.
Das Trapez
Ein Trapez hast du möglicherweise schon einmal im Zirkus
gesehen.
Das dort von Luftakrobaten eingesetzte Turngerät hat allerdings
eine spezielle, gleichschenkelige Form.
In der Geometrie gilt allgemeiner:
Ein Trapez ist ein Viereck mit zwei parallelen Seiten.
Beschriftung:
Es gilt:
$ \quad a \parallel c $
$ \quad \alpha + \delta = \beta + \gamma = 180\deg $
(supplementäre Winkel)
$\quad b$ und $d$ heißen Schenkel des Trapezes.
Die Winkelsumme beträgt wie in jedem ebenen Viereck $360\deg$.
B
Konstruiere das Trapez:
$a = 90\mm$, $d = 60\mm$, $\alpha = 75\deg$ und $\beta = 60\deg$ (o.W.).
Zeichne die Diagonalen ein und miss ihre Länge ab.
Finde ein Dreieck in der Figur, bei dem drei Bestimmungsstücke gegeben sind.
Ein solches Dreieck wie hier $ABD$ kannst du konstruieren.
KB:
$a \Raq A, B$
$\alpha $
$d \Raq D$
Parallele zu $a$ durch $D$
$\beta \Raq C$
$\beta$ ist ohne Winkelmesser zu konstruieren.
Du weißt sicher noch, wie das geht.
Die Längen der Diagonalen sind
$e = \ol{AC} = 8,1\cm$, $\quad$
$f = \ol{BD} = 9,4\cm$.
Allgemein hat ein Trapez keine Symmetrieachse.
Es gibt aber symmetrische Trapeze:
Hat ein Trapez eine Symmetrieachse,
so ist es ein gleichschenkeliges Trapez.
Die Schenkel sind dann gleich lang ($b = d$).
B
Konstruiere das gleichschenkelige Trapez mit
$a = 60\mm$, $e = 65\mm$ und $\gamma = 110\deg$.
Konstruiere den Umkreis und miss den Umkreisradius
und die Diagonalen ab.
KB:
$a \Raq A, B$
$\gamma $ bei $B$ (Parallelwinkel)
Zirkel: $k(A, e) \Raq C$
Parallele zu $a$ durch $C$
Zirkel: $k(B, e) \Raq D$
Beachte, wie du den Winkel $\beta$ mit Hilfe des supplementären
Parallelwinkels $\gamma$ erhältst.
Und du weißt ja schon:
Der Umkreismittelpunkt ist der Schnittpunkt der Seitensymmetralen (SUM).
Der Umkreisradius beträgt
$r_U = 3,5\cm$.
Die Längen der Diagonalen sind
$ e = f = 6,5\cm $.
Ein gleichschenkeliges Trapez hat einige besondere Eigenschaften
Jedes gleichschenkelige Trapez besitzt eine Symmetrieachse und einen Umkreis.
Der Mittelpunkt des Umkreises liegt auf der Symmetrieachse.
Die Diagonalen eines gleichschenkeligen Trapezes sind gleich lang.
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