sum_bruch
2007, 2024 Oskar Wagner
$$
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$$
Addieren und Subtrahieren von Brüchen
Zunächst betrachten wir die Addition und Subraktion gleichnamiger Brüche.
B
Berechne und kürze das Ergebnis soweit wie möglich:
$ \frac{3}{7} + \frac{2}{7} $
$ \frac{5}{8} + \frac{7}{8} $
$ \frac{17}{18} - \frac{11}{18} $
$ \frac{3}{7} + \frac{2}{7}
$ $ = \frac{3 +2}{7} = \frac{5}{7}
$
$ \frac{5}{8} + \frac{7}{8}
$ $ = \frac{5 +7}{8} = \frac{12}{8}
$ $ = \frac{3}{2}
$
$ \frac{17}{18} - \frac{11}{18}
$ $ = \frac{13 -11}{18} = \frac{2}{18}
$ $ = \frac{1}{9}
$
Addition und Subtraktion gleichnamiger Brüche
Bei der Addition (Subtraktion) gleichnamiger Brüche
werden die Zähler zusammengefasst (addiert, subtrahiert),
der Nenner bleibt unverändert.
Addition Subtraktion
$$\frac{a}{n} + \frac{b}{n} = \frac{a + b}{n}$$
$$\frac{a}{n} - \frac{b}{n} = \frac{a - b}{n}$$
Ungleichnamige Brüche musst du zuerst passend erweitern,
sodass ihr Nenner gleich ist.
B
Berechne und kürze das Ergebnis soweit wie möglich:
$ \frac{3}{4} + \frac{1}{3} $
$ \frac{3}{4} - \frac{1}{3} $
$ \frac{7}{6} - \frac{5}{8} + \frac{1}{12} $
$ \frac{3}{4} + \frac{1}{3}
$ $ = \frac{3\cdot 3}{4\cdot 3} + \frac{1\cdot 4}{3\cdot 4}
$ $ = \frac{9}{12} + \frac{4}{12}
$ $ = \frac{9 + 4}{12} = \frac{13}{12}
$
$ \frac{3}{4} - \frac{1}{3}
$ $ = \frac{3\cdot 3}{4\cdot 3} - \frac{1\cdot 4}{3\cdot 4}
$ $ = \frac{9}{12} - \frac{4}{12}
$ $ = \frac{9 - 4}{12} = \frac{5}{12}
$
$ \frac{7}{6} - \frac{5}{8} + \frac{1}{12}
$ $ = \frac{7\cdot 4}{24} - \frac{5\cdot 3}{24} + \frac{1\cdot 2}{24}
$ $ = \frac{28}{24} - \frac{15}{24} + \frac{2}{24}
$ $ = \frac{28 - 15 + 2}{24}
$ $ = \frac{15}{24} = \frac{5}{8}
$
Addition und Subtraktion ungleichnamiger Brüche
Ungleichnamige Brüche
werden vor dem Zusammenfassen der Zähler durch Erweitern
auf gemeinsamen Nenner gebracht und damit gleichnamig gemacht.
Der gemeinsame Nenner (Hauptnenner)
ist das kleinste, gemeinsame Vielfache (kgV)
der einzelnen vorkommenden Nenner.
(Addieren und Subtrahieren von Brüchen)
B
Eine Teststation hat 108 Infizierte ermittelt.
Berechne die Summe dieser Bruchteile.
Die Nenner sind $12$, $3$ und $9$. Bestimme den gemeinsamen Hauptnenner.
$12 = 2 \cdot 2 \cdot 3$; $\qquad 3 = 3$; $\qquad 9 = 3 \cdot 3$
$ \Ra $ kgv$(12, 3, 9) = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 36$
Erweitere jeden Bruch auf den Hauptnenner.
$\displaystyle{
\begin{array}{r l}
\frac{1}{12} + \frac{1}{3} + \frac{4}{9}
& = \frac{1 \cdot 3}{12 \cdot 3} + \frac{4 \cdot 4}{9 \cdot 4}
\\
& = \frac{3}{36} + \frac{12}{36} + \frac{16}{36}
\\
& = \frac{3 + 12 + 16}{36} = \frac{31}{36}
\end{array}
}$
Wie groß ist der Bruchteil der über 60-jährigen Infizierten an allen Infizierten?
Das Verhältnis (Bruchteil) aller 108 Infizierten zu allen 108 Infizierten
ist $108:108 = \frac{108}{108} = 1$ (ein Ganzes).
$ 1 - \frac{31}{36} = \frac{36}{36} - \frac{31}{36} = \frac{5}{36} $
Der Bruchteil der über 60-jährigen Infizierten an allen Infizierten beträgt $\frac{5}{36}$.
$ \frac{5}{36}$ von $108$ Infizierten $= \frac{5}{36} \cdot 108 $
$ = 5 \cdot \frac{108}{36} = 5 \cdot 3 = 15$
15 Infizierte sind über 60 Jahre alt.
Drücke jeden der vier Bruchteile in Prozent aus
(auf eine Nachkommastelle gerundet).
Wandle jeden Bruchteil zunächst durch Ausführen der Division (Nebenrechnung)
in eine Dezimalzahl um.
jünger als 15 Jahre:
$\quad\frac{1}{12} = 1 : 12 = 0,08\dot{3} \approx 8,3\,\%$
15 bis 35 Jahre:
$\quad\frac{1}{3} = 1 : 3 = 0,\dot{3} \approx 33,3\,\%$
35 bis 60 Jahre:
$\quad\frac{4}{9} = 4 : 9 = 0,\dot{4} \approx 44,4\,\%$
älter als 60 Jahre:
$\quad\frac{5}{36} = 5 : 36 = 0,13\dot{8} \approx 13,9\,\%$
Beachte, dass beim letzten Wert aufzurunden ist: $13,888\dots \approx 13,9$
Wenn große Nenner auftreten, brauchst du Primfaktorzerlegungen,
um das kgV der einzelnen Nenner zu finden.
B
Berechne und kürze das Ergebnis soweit wie möglich:
$\displaystyle{ \quad \frac{2}{3} - \frac{3}{14} + \frac{5}{12} - \frac{5}{28} =}$
Um den gemeinsamen Hauptnenner (HN) zu finden, werden die einzelnen
Nenner in Primfaktoren zerlegt,
und das kgV(3, 14, 12, 28) gebildet.
$\displaystyle{
\begin{array}{r l}
& \textsf{Nenner}
\\ 3 & = 3
\\ 14 & = 2 \cdot 7
\\ 12 & = 2 \cdot 2 \cdot 3
\\ 28 & = 2 \cdot 2 \cdot 7
\\\hline
HN & = 3 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 2 = 84
\end{array}
}$
Die Faktoren, mit denen du jeden einzelnen Bruch erweitern musst,
ergänzt du in der obigen Tabelle.
$\displaystyle{
\begin{array}{r l | l}
& \textsf{Nenner} & \textsf{Erweiterungsfaktoren}
\\ 3 & = 3 & 2 \cdot 7 \cdot 2 = 28
\\ 14 & = 2 \cdot 7 & 3 \cdot 2 = 6
\\ 12 & = 2 \cdot 2 \cdot 3 & 7
\\ 28 & = 2 \cdot 2 \cdot 7 & 3
\\\hline
\text{HN} & = 3 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 2 = 84 &
\end{array}
}$
Nun kannst du die einzelnen Brüche
mit dem jeweiligen Erweiterungsfaktor erweitern
und anschließend zusammenfassen:
$\displaystyle{
\begin{array}{r l}
\frac{2}{3} - \frac{3}{14} + \frac{5}{12} - \frac{5}{28}
& = \frac{2 \cdot 28}{3 \cdot 28} - \frac{3 \cdot 6}{14 \cdot 6}
+ \frac{5 \cdot 7}{12 \cdot 7} - \frac{5 \cdot 3}{28 \cdot 3}
\\
& = \frac{56}{84} - \frac{18}{84} + \frac{35}{84} - \frac{15}{84}
\\& = \frac{56 - 18 + 35 - 15}{84}
= \frac{58}{84} = \frac{29}{42}
\end{array}
}$
Vergiss nicht, das Ergebnis soweit wie möglich zu kürzen.
(Addieren und Subtrahieren von Brüchen)
B
Berechne und kürze das Ergebnis so weit wie möglich:
$\displaystyle{
\quad \frac{7}{6} - \left(\frac{6}{7} - \frac{5}{14} - \frac{1}{6} \right) =
}$
$6 = 2 \cdot 3$; $\qquad 7 = 7$; $\qquad 14 = 2 \cdot 7$
$ \quad \Ra $ kgv$(6, 7, 14) = 2 \cdot 3 \cdot 7 = 42$
Der Hauptnenner ist $42$.
Beachte die Vorrangregeln!
$\displaystyle{
\begin{array}{r l}
\frac{7}{6} - \left(\frac{6}{7} - \frac{5}{14} - \frac{1}{6} \right)
& = \frac{7 \cdot 7}{42} - \left(\frac{6 \cdot 6}{42}
- \frac{5 \cdot 3}{42} - \frac{1 \cdot 7}{42} \right)
\\
& = \frac{49}{42} - \left(\frac{36}{42} - \frac{15}{42} - \frac{7}{42} \right)
\\
& = \frac{49}{42} - \left(\frac{36 - 15 - 7}{42} \right)
= \frac{49}{42} - \left(\frac{14}{42} \right)
\\
& = \frac{49}{42} - \frac{14}{42}
= \frac{49 - 14}{42}
= \frac{35}{42} = \frac{5}{6}
\end{array}
}$
B
Nachdem ein Radfahrer $\frac{3}{5}$ seines Weges mit dem Fahrrad zurückgelegt
hatte, musste er wegen der schlechten Straße sein Rad $6$ Kilometer schieben.
Das restliche Viertel des gesamten Weges konnte er danach mit dem Rad
wieder weiterfahren.
Der Weg setzt sich aus drei Abschnitten zusammen.
Vom mittleren Stück kennst du die genaue Länge ($6$ km),
vom ersten und vom letzten Stück die Bruchteile (des ganzen Weges).
$\displaystyle{
1 - \left(\frac{3}{5} + \frac{1}{4}\right) = \frac{20}{20} - \left(\frac{12}{20} + \frac{5}{20}\right)
= \frac{20}{20} - \frac{17}{20} = \frac{3}{20}
}$
$\Ra \frac{3}{20}$ des ganzen Weges sind $6$ km lang.
Daraus kannst du auf die Länge $a = (\frac{1}{20}$ des ganzen Weges$)$ schließen.
$\Ra \frac{1}{20}$ des ganzen Weges sind ein Drittel von $6$ km
$\Ra a = 2$ km.
Das Ganze des Weges besteht aus $20$ solchen Stücke der Länge $a$.
$\Ra $ Das Ganze des Weges $= 20 \cdot 2$ km $ = 40$ km.
Der Weg war $40$ Kilometer lang.
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