Wie du schon weißt, kannst du Bruchteile
als Bruch, als Dezimalzahl oder in Prozent ausdrücken.
Für kleine Bruchteile steht dir noch eine weitere Möglichkeit zur Verfügung.
$1$ Promille $= 1\prm = \frac{1}{1000}$
Lateinisch mille heißt tausend.
Promille bedeutet daher im Verhältnis zu tausend.
B
Schreibe als Dezimalzahl und als gekürzten Bruch:
B
$\frac{1}{5}$ eines $60\ux{ha}$ großen Grundbesitzes
besteht aus Wald.
Drücke den Bruchteil in Prozent aus
und stelle die Zahl in einem Prozentstreifen dar.
$ \frac{1}{5} = 0,2 = \frac{20}{100} = 20\pct $
Den Prozentstreifen zeichnest du als Balken.
Damit die Darstellung von Prozentsätzen einfach wird,
wählst du für $100\pct$ eine Länge von $100\mm$.
Wie groß ist der Anteilswert des Waldes?
Du erinnerst dich sicher, wie das geht.
Den Anteilswert des Waldes kürzen wir mit $A_W$ ab.
Anteilswert des Waldes $= \frac{1}{5}$ von $60\ux{ha}$
$A_W = \frac{1}{5} \cdot 60\ux{ha} = \frac{60}{5}\ux{ha} = 12\ux{ha}$
Der Anteilswert des Waldes beträgt $12\ux{ha}$.
Erstelle eine Formel für die Berechnung des Anteilswerts.
Für die Formel brauchst du passende Variable.
$12\ux{ha} =$ Anteilswert $= A$
$\frac{1}{5} =$ Bruchteil $= b$
$60\ux{ha} =$ Grundwert $= G$
Damit kannst Du den Zusammenhang so aufschreiben:
$\begin{array}{c l c}
12\ux{ha} &=& \frac{1}{5} &\cdot& 60\ux{ha}
\\ \small\text{Anteilswert} &=& \small\text{Bruchteil} &\cdot& \small\text{Grundwert}
\\ A &=& b &\cdot& G
\end{array}
$
Der Zusammenhang zwischen Anteilswert, Bruchteil und Grundwert lautet:
$\displaystyle{\begin{array}{c l c}
\text{Anteilswert} &=& \text{Bruchteil} &\cdot& \text{Grundwert}
\\ A &=& b &\cdot& G
\end{array}
}$
Anteilswert und Grundwert tragen immer die gleiche Einheit.
Der Bruchteil ist eine Verhältniszahl und hat keine Einheit.
Er kann als Bruch, Dezimalzahl, Prozent- oder Promilleangabe geschrieben werden.
Steigung
Vielleicht hast du diese Verkehrsschild schon einmal gesehen:
Es zeigt an, dass die Straße eine Steigung oder ein Gefälle von $20\pct$ aufweist.
Welche mathematische Bedeutung hat diese Angabe?
Unter Steigung versteht man das Verhältnis von
Höhenunterschied zu waagrechter Entfernung.
Die Achsen eines Koordinatensystems werden häufig mit $x$ und $y$ bezeichnet.
$\Delta x$ bedeutet eine Länge in $x$-Richtung -- hier die waagrechte Entfernung.
$\Delta y$ ist ein Längenabschnitt in $y$-Richtung -- hier der Höhenunterschied.
($\Delta$ ist der griechische Großbuchstabe Delta.)
B
Berechne die Steigung der Straße (laut skizziertem Steigungsdreieck).
Das durch $\Delta x$ und $\Delta y$ gebildete rechtwinkelige Dreiech
heißt Steigungsdreieck.
Gib die Steigung als Bruch, als Dezimalzahl und in Prozent an.
Waagrechte Entfernung
$= \Delta x = 350\m$
Höhenunterschied
$= \Delta y = 42\m$
$ k = \frac{\Delta x}{\Delta y} = \frac{42}{350} $
$ = \frac{6}{50} = \frac{3}{25} = 0,12 = 12\pct $
Die Steigung der Straße beträgt $\frac{3}{25} = 0,12 = 12\pct $.
B
Wie steil verläuft eine Stiege,
die auf einer waagrechten Entfernung von $7\m$ einen
gleich großen Höhenunterschied überwindet.
Berechne die Steigung.
Waagrechte Entfernung
$= \Delta x = 7\m$
Höhenunterschied
$= \Delta y = 7\m$
$ k = \frac{\Delta x}{\Delta y} = \frac{7}{7} $
$ = 1 = 100\pct $
Die Steigung der Stiege beträgt $ 1 = 100\pct $.
Überlege, wie groß der Steigungswinkel der Stiege ist.
Dabei hilft dir vielleicht eine maßstäbliche Zeichnung.
B
Sasha erzählt, sie hätte bei ihrem letzten Ausflug
einen Höhenunterschied von $200\m$ zurückgelegt
und dabei eine Steigung von $1000\pct$ bewältigt.
Kann das stimmen?
Gibt es eine Steigung von mehr als $100\pct$?
Um das herauszufinden, musst du die Steigungsformel so umformen,
dass du die (nicht angegebene) waagrechte Entfernung damit berechnen kannst.
$\begin{array}{r l}
\\ k x &=& \frac{\Delta y}{\Delta x} & \forthat \cdot \Delta x
\\ k \cdot \Delta x &=& \frac{\Delta y}{\Delta x} \cdot \Delta x & \hint{(Kürzen)}
\\ k \cdot \Delta x &=& \Delta y & \forthat : k
\\ \frac{k \cdot \Delta x}{k} &=& \frac{\Delta y}{k}
\\ \Delta x &=& \frac{\Delta y}{k}
\end{array}
$
Jetzt kannst du den Höhenunterschied und die Steigung in die Formel einsetzten
und die waagrechte Entfernung berechnen.
Eine maßstäbliche Zeichnung veranschaulicht das Ergebnis:
Sasha hat für den Höhenunterschied von $200\m$ nur eine waagrechte Entfernung
von $20\m$ benötigt.
Sie ist offensichtlich eine ganz ausgezeichnete Kletterin.
Beim Umformen der Formel im obigen Beispiel entsteht in der dritten Zeile
die Gleichung $\Delta y = k \cdot \Delta x$.
Damit kannst du den Höhenunterschied berechnen,
wenn du die Steigung und die waagrechte Entfernung kennst.
Zusammenfassung:
$\begin{array}{r l}
k &=& \frac{\Delta y}{\Delta x} & \guide{Steigung}
\\\Delta y &=& k \cdot \Delta x & \guide{Höhenunterschied}
\\\Delta x &=& \frac{\Delta y}{k} & \guide{waagrechte Entfernung}
\end{array}
$
Berechnung des Bruchteils
B
Von $720$ Schulkindern sind $396$ Mädchen.
Welcher Bruchteil der Schulkinder sind Mädchen?
Angegeben sind zwei Werte, die die gleiche Einheit (Kinder) tragen:
Der Grundwert $G$ und ein Anteilswert $A$,
zu dem der gesuchte Bruchteil passen muss.
Gesucht ist der Bruchteil $b$.
Daher musst du die Formel so umformen, dass $b$ ausgedrückt wird.
Dann kannst du $b$ berechnen.
$\begin{array}{r l}
A &=& b \cdot G & \forthat : G
\\ \frac{A}{G} &=& b
\\ b &=& \frac{A}{G}
\end{array}
$
$ \Ra\quad b = \frac{396}{720} = \frac{198}{360} $
$ = \frac{99}{180} = \frac{33}{60} = \frac{11}{20} $
$ = 0,55 = \frac{55}{100} = 55\pct $
$55\pct$ der Schulkinder sind Mädchen.
Nicht: $55\pct$ sind Mädchen.
Da bleibt offen: $55\pct$ wovon?
Der Bruchteil gibt das Verhältnis von Anteilswert zu Grundwert an.
$\begin{array}{c}
b &=& \frac{A}{G}
\\\small\text{Bruchteil} &=& \frac{\text{Anteilswert}}{\text{Grundwert}}
\end{array}
$
Letztesmal hast du beim Ermitteln der Steigung ebenfalls
eine Verhältniszahl berechnet ($\frac{\Delta y}{\Delta x}$).
B
In einem Geschäft A kostet ein Buch $14,55\eur$,
in einem anderen Geschäft B $17,46\eur$,
Um welchen Bruchteil ist das Buch in B teurer als in A?
Die Frage ist unexakt gestellt. Richtig ist:
Um welchen Bruchteil des Preises im Geschäft A ist das Buch in B teurer?
Lies die Angabe und die Fragestellung genau:
Der Grundwert, auf den sich die Frage bezieht (..als in A),
ist der Preis im Geschäft A.
Der Anteilswert, der dem gesuchten Bruchteil entspricht,
ist die Preisdifferenz (..teurer..).
$ G = 14,55\eur $
$ A = 17,46\eur - 14,55\eur = 2,91\eur $
$ b = \frac{A}{G} = \frac{2,91\eur}{14,55\eur} = 0,2 = 20\pct $
Im Geschäft B ist das Buch um $20\pct$ teurer als im Geschäft A.
Die Antwort ist üblich, aber unexakt. Das merktst du sofort,
wenn du den Bruchteil als Dezimalzahl schreibst:
Im Geschäft B ist das Buch um $0,2$ teurer als im Geschäft A.
Das ist sinnlos. $0,2$ ist eine Verhältniszahl ohne Einheit.
Richtig ist:
Im Geschäft B ist das Buch um $20\pct$ des Preises in A teurer.
B
Bei der letzten Klassensprecherwahl erhielt ein Kandidat $20$ Stimmen.
Das waren $4$ Stimmen mehr als im Vorjahr.
Wieviel Prozent der Stimmen wurden hinzugewonnen?
Die Frage kann so nicht beantwortet werden, weil nicht angegeben ist,
auf welchen Grundwert sich die Frage bezieht.
Ist die im Vorjahr oder die in diesem Jahr erhaltene Anzahl an Stimmen
als Bezugswert gemeint?
Ein Ausweg ist, beide Varianten zu berechnen.
Wieviel Prozent der im Vorjahr erhaltenen Anzahl an Stimmen wurden hinzugewonnen?
Der Grundwert ist die Anzahl der im Vorjahr erhaltenen Stimmen:
$ G = 20\ux{Stimmen} - 4\ux{Stimmen} = 16\ux{Stimmen} $
$ A = 4\ux{Stimmen}$
$ b = \frac{A}{G} = \frac{4\ux{Stimmen}}{16\ux{Stimmen}} $
$ = \frac{4}{16} = \frac{1}{4} = 0,25 = 25\pct $
Der Kandidat gewann $25\pct$ der Anzahl der im Vorjahr erhaltenen Stimmen hinzu.
Wieviel Prozent der Anzahl der diesjährig erhaltenen Stimmen wurden hinzugwonnen?
Der Grundwert ist die Anzahl der dieses Jahr erhaltenen Stimmen:
$ G = 20\ux{Stimmen}$
$ A = 4\ux{Stimmen}$
$ b = \frac{A}{G} = \frac{4\ux{Stimmen}}{20\ux{Stimmen}} $
$ = \frac{4}{20} = \frac{1}{5} = 0,2 = 20\pct $
Der Kandidat gewann $20\pct$ der Anzahl der diesjährig erhaltenen Stimmen hinzu.
Die Wahl des Grundwerts hat natürlich einen wesentlichen Einfluss
auf das Ergebniss.
Leider bedienen sich Medien (und sogar Schulbücher) oft keiner
sprachlich exakten und mathematisch korrekten Ausdrucksweise
bei der Darstellung solcher Sachverhalte.
Mache es selbst besser!
Die Nennung eines Bruchteils (Prozentsatzes)
ohne einen dazugehörigen Bezugswert (Grundwert)
ist im Allgemeinen sinnlos und sagt nichts aus.
Berechnung des Grundwerts
$ A = b \cdot G, \quad $
$ b = \frac{A}{G} $
Zwei Variable der Formel kannst du bereits ermitteln.
Was noch fehlt, ist die Berechnung des Grundwerts.
B
Wieviel Kilogramm Bronze kann man aus $204\ux{kg}$ Kupfer herstellen,
wenn die Legierung $85\pct$ Kupfer und $15\pct$ Zinn enthalten soll?
Bronze ist eine Legierung (Mischung) der beiden Metalle
Kupfer (Cu) und Zinn (Sn).
Zinn steht hier in genügender Menge zur Verfügung.
Bei diesem Beispiel ist der Anteilswert an Kupfer (in Kilogramm)
und der zu diesem Anteilswert passende Bruchteil (in Prozent)
angegeben.
Was fehlt und gesucht ist, ist der Grundwert $G$,
also die Menge an daraus hergestellter Bronze.
Du musst die Formel umformen, sodass $G$ auf der linken Seite steht.
$\begin{array}{r l}
A &=& b \cdot G & \forthat : b
\\ \frac{A}{b} &=& G
\\ G &=& \frac{A}{b}
\end{array}
$
$ \Ra\quad G = \frac{204\ux{kg}}{85\pct} = 204\ux{kg} : \frac{85}{100} $
$ = 204\ux{kg} \cdot \frac{100}{85} = \frac{204\cdot 100}{85}\ux{kg} $
$ = \frac{204 \cdot 20}{17}\ux{kg} = \frac{12 \cdot 20}{1}\ux{kg} $
$ = 240\ux{kg} $
Aus $204\ux{kg}$ Kupfer kann man $240\ux{kg} $ Bronze herstellen.
$\begin{array}{c}
G &=& \frac{A}{b}
\\\small\text{Grundwert} &=& \frac{\text{Anteilswert}}{\text{Bruchteil}}
\end{array}
$
Grundwert und Anteilswert tragen immer die gleiche Einheit.
Preise für Waren und Dienstleistungen
sind im Allgemeinen sogenannte Bruttopreise,
und enthalten eine Mehrwertsteuer
von (meist) $20\pct$ des Nettopreises.
Der Nettopreis ist der Preis ohne Mehrwertsteuer.
B
Ein Fahrrad kostet inklusive Mehrwertsteuer $456\eur$.
Der Mehrwertsteuersatz beträgt $20\pct$.
Wie groß ist der Nettopreis?
Achte darauf, dass der Bruchteil zum Anteilswert passt!
Gegeben ist der Bruttopreis (Anteilswert),
das ist die Summe aus Mehrwertsteuer und Nettopreis.
Der dazupassende Bruchteil ist $20\pct + 100\pct = 120\pct$.
Anteilswert (brutto): $ A = 456\eur $
Bruchteil (brutto): $ b = 120\pct = 1,2 $
$ G = \frac{A}{b} = \frac{456\eur}{120\pct} $
$ = \frac{456\eur}{1,2} = \frac{4560\eur}{12} = 380\eur $
Der Preis ohne Mehrwertsteuer (Nettopreis) für das Fahrrad beträgt $380\eur$.
Rechnen mit Anteilswert, Bruchteil und Grundwert
Lies zum Lösen solcher Sachaufgaben die Angabe immer
ein zweites Mal langsam und ganz genau durch.
Du musst herausfinden, welche von den drei Variablen
$A$, $b$ und $G$ gesucht ist, und welche zwei anderen daher gegeben sind.
Das Skizzieren eines entsprechend beschrifteten Prozentstreifens
hilft dir dabei sehr.
Der Anteilswert entspricht immer dem Bruchteil.
Der Grundwert entspricht immer dem Ganzen ($ 100\pct $).
B
Voriges Jahr zahlte man im Geschäft A für einen Küchentisch $260\eur$,
im Geschäft B kostete der gleiche Tisch $240\eur$.
Jetzt ist der Preis in A um $5\pct$ des ursprünglichen Preises gefallen,
in B um $5\pct$ gestiegen.
Berechne die neuen Preise. Wo bekommst du den Tisch jetzt günstiger?
In beiden Fällen ist der Grundwert der jeweils ursprüngliche Preis.
Im Geschäft A liegt der neue Preis (Anteilswert) unter dem Grundwert,
der zugehörige Bruchteil ist kleiner als $100\pct$.
$ b = 100\pct - 5\pct = 95\pct $
$ G = 260\eur $
$ A = b \cdot G = 95\pct\cdot 260\eur = $
$ = 0,95 \cdot 260\eur = 247\eur $
Im Geschäft B liegt der neue Preis (Anteilswert) über dem Grundwert,
der passende Bruchteil ist daher größer als $100\pct$.
$ b = 100\pct + 5\pct = 105\pct $
$ G = 240\eur $
$ A = b \cdot G = 105\pct\cdot 240\eur = $
$ = 1,05 \cdot 240\eur = 252\eur $
Der Tisch ist jetzt im Geschäft A günstiger.
B
Im Jahr 2010 gab es in Wien rund $1800$ Sonnenstunden.
Im darauffolgenden Jahr stieg die Anzahl der Sonnenstunden
im Verhältnis zu 2010 um $22\pct$.
2013 gab es um $10\pct$ weniger Sonnenstunden als 2011.
Wieviele Sonnenstunden gab es 2013?
Die Berechnung besteht aus zwei Teilen:
Zunächst musst du die Zahl der Sonnenstunden nach dem Anstieg
ermitteln.
Dazu brauchst du den zu diesem Anteilswert passenden Bruchteil.
Der Grundwert ist die Zahl der Sonnenstunden im Jahr 2010.
$ b = 100\pct + 22\pct = 122\pct $
$ G = 1800\ux{h} $
$ A = b \cdot G = 122\pct\cdot 1800\ux{h} = $
$ = 1,22 \cdot 1800\ux{h} = 2196\ux{h} $
Im Jahr 2011 gab es $2196$ Sonnenstunden in Wien.
Jetzt berechnest du, wie sich die Veringerung für 2013 auswirkt.
Der Grundwert ist nun die Zahl der Sonnenstunden im Jahr 2011.
Du brauchst wieder den zum Anteilswert (2013) passenden Bruchteil.
$ b = 100\pct - 10\pct = 90\pct $
$ G = 2196\ux{h} $
$ A = b \cdot G = 90\pct\cdot 2196\ux{h} = $
$ = 0,9 \cdot 2196\ux{h} = 1976,5\ux{h} $
Im Jahr 2013 gab es $1977$ Sonnenstunden in Wien.
(Rechnen mit Anteilswert, Bruchteil und Grundwert)
Auch bei diesen Aufgaben bekommst du durch das Zeichnen eines
entsprechend beschrifteten Prozentstreifens
eine gute Vorstellung von der Problemstellung und ihrer Lösung.
B
Der Neusiedlersee bedeckt aktuell eine Fläche von $320\km^2$,
davon entfallen $240\km^2$ auf Österreich,
der Rest liegt in Ungarn.
Welcher Bruchteil (in Prozent) der Gesamtfläche liegt in Ungarn?
Der Grundwert ist die Gesamtfläche, der Anteilswert die Seefläche in Ungarn.
$ A = (320 - 240)\km^2 = 80\km^2 $
$ G = 320\km^2 $
$ b = \frac{A}{G} = \frac{80\km^2}{320\km^2} $
$ = \frac{80}{320} = \frac{1}{4} = 0,25 = 25\pct $
$25\pct$ der gesamten Seefläche liegen in Ungarn.
1786 erreichte der See seine bisher größte Ausdehnung,
er war im Vergleich zu heute um $61\pct$ größer.
Welche Fläche nahm der See zu jener Zeit ein?
Aus der Angabe im Vergleich zu heute liest du,
dass der Grundwert (Vergleichswert, Bezugswert)
die heutige Seefläche ist.
Der gesuchte Anteilswert ist die frühere Ausdehnung.
Der angegebene Prozentsatz entspricht allerdings
nicht dem Anteilswert, sondern dem Flächenunterschied
zwischen früher und heute.
Damit der Bruchteil zum gesuchten Anteilswert passt,
musst du noch $100\pct$ addieren.
$ b = 100\pct + 61\pct = 161\pct$
$ G = 320\km^2 $
$ A = b \cdot G = 161\pct\cdot 320\km^2 = $
$ = \frac{161}{100}\cdot 320\km^2 = 161 \cdot 3,2\km^2 = 515,2\km^2 $
1786 nahm der See eine Fläche von $515,2\km^2$ ein.
Wieviel Prozent der damaligen Ausdehnung beträgt die heutige Fläche?
Der Bruchteil ist gesucht, also brauchst du zur Berechnung
den Anteilswert und den Grundwert.
Du weißt, die Formel lautet $A = b\cdot G$.
Der Anteilswert errechnet sich als Bruchteil des Grundwerts.
Aus Prozent der damaligen Ausdehnung siehst du,
dass der Grundwert die damalige Fläche sein muss.
Der Anteilswert ist dann offensichtlich die heutige Fläche.
$ A = 320\km^2 $
$ G = 515,2\km^2 $
$ b = \frac{A}{G} = \frac{320\km^2}{515,2\km^2} = \frac{320}{515,2} $
$ \approx \frac{320}{515} = \frac{64}{103} \approx 0,621 = 62,1\pct $
Die heutige Fläche beträgt $62,1\pct$ der Ausdehnung des Sees im Jahr 1786.
Wolfram ist ein weißglänzendes Schwermetall hoher Dichte,
das vor allem zur Herstellung von Hartmetall-Werkzeugen und
Legierungen verwendet wird.
Es ist das chemische Element mit dem höchsten Schmelz- und Siedepunkt,
weswegen es als Glühwendel in Glühlampen zum Einsatz kommt.
B
Das bedeutendste Wolframvorkommen Europas
befindet sich im Felbertal in Salzburg.
2017 wurden dort $950$ Tonnen Wolfram gewonnen.
Im Vergleich zur Produktion zehn Jahre zuvor war dies
ein Rückgang um $27\pct$.
Wieviele Tonnen Wolfram wurden 2007 gefördert?
(Runde das Ergebnis auf Zehner.)
Du liest im Text: Im Vergleich zur Produktion zehn Jahre zuvor...
Der Vergleichswert (Grundwert) ist also die Menge an Wolfram,
die 2007 produziert wurde.
Dieser Grundwert ist gesucht.
Als Anteilswert ist die im Jahr 2017 gewonnene Menge genannt.
Der angegebene Prozentsatz beschreibt aber den Rückgang der Menge
und passt damit nicht zum Anteilswert.
Den Bruchteil musst Du so wählen, dass er dem Anteilswert,
also der 2017 gewonnenen Menge entspricht:
$ A = 950\ux{Tonnen} $
$ b = 100\pct - 27\pct = 73\pct $
$ G = \frac{A}{b} = \frac{950\ux{t}}{73\pct} = \frac{950\cdot 100}{73}\ux{t} $
$ = 95000:73 = 1301,3\ux{t} \approx 1300\ux{t} $
Im Jahr 2007 wurden rund $1300$ Tonnen Wolfram im Felbertal gefördert.
Vielleicht hast du diese Verkehrsschild schon einmal gesehen:
Es zeigt an, dass die Straße eine Steigung oder ein Gefälle von $20\pct$ aufweist.
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