B
Die Gleichung $\quad 3\cdot 9 = 27 \quad$ ist eine wahre Ausage.
Die Gleichung $\quad 7\cdot 4 = 25 \quad$ ist eine falsche Ausage.
Was passiert, wenn du auf beiden Seiten einer Gleichung
dieselbe Zahl addierst oder subtrahierst?
Kann dabei aus einer wahren eine falsche Aussage werden (oder umgekehrt)?
Der Wahrheitsgehalt einer Gleichung (das heißt,
ob sie eine wahre oder falsche Aussage darstellt)
hat sich dabei nicht verändert.
Der Doppelpfeil $\Lraq$ bedeutet: Gleichwertig, äquivalent.
Damit wird ausgedrückt, dass die beiden Gleichungen
links und rechts des Doppelpfeils den gleichen Wahrheitsgehalt haben
und gleichwertig sind.
Interessanter sind Gleichungen, die eine Unbekannte (Variable) enthalten.
B
Die Gleichung $\quad x + 7 = 28 \quad$ kann wahr oder falsch sein,
je nachdem was für $x$ eingesetzt wird.
Wird $x$ so gewählt, dass die Gleichung wahr ist,
dann ist $x$ eine Lösung der Gleichung.
Bestimme die Lösung der Gleichung.
Führe die Probe durch.
Du hast sicher schon herausgefunden, welches $x$ eine Lösung der Gleichung ist.
Deine Kopfrechnung schreiben wir jetzt so auf wie oben,
indem auf beiden Seiten der Gleichung $7$ subtrahiert wird.
$\begin{array}{r l}
x + 7 &=& 28 & \forthat -7 \hint{(auf beiden Seiten)}
\\ x + 7 -7 &=& 28 -7
\\ x + 0 &=& 21
\\ x &=& 21
\end{array}
$
Die letzte Zeile und damit auch alle oberhalb sind genau dann wahr,
wenn du für $x$ die Zahl $21$ einsetzt.
Dann steht da $21 = 21$, und das ist offensichtlich eine wahre Aussage.
Die Lösung der Gleichung ist $\quad x = 21$.
Die Lösungsmenge der Gleichung ist $\quad L = \{21\}$.
Die Probe führst du durch, indem du die Lösung
in die gegebene ursprüngliche Gleichung einsetzt und
jeweils die linke und die rechte Seite der Gleichung berechnest.
Die Gleichung in der letzten Zeile ist eine wahre Aussage,
weil die linke und die rechte Seite übereinstimmen.
Falls die Probe keine wahre Aussage ergibt, liegt ein Fehler vor.
Der Fehler kann im Lösungsvorgang oder in der Probe liegen.
Wird auf beiden Seiten einer Gleichung dieselbe Zahl addiert (oder subtrahiert),
so bleibt die Gleichung gleichwertig (äquivalent).
Äquivalente Gleichungen haben dieselben Lösungen.
B
Ein Behälter ist mit einer Flüssigkeit gefüllt.
Erstelle eine Formel für die Gesamtmasse.
Um einen Zusammenhang in einer Formel oder Gleichung aufschreiben zu können,
musst du zuerst festlegen, welche Bedeutung die Variablen haben sollen.
Variablen festlegen:
$g =$ Gesamtmasse; $\quad$
$f =$ Masse der Flüssigkeit; $\quad$
$b =$ Masse des Behälters
Die Formel lautet dann: $\quad$
$g = f + b$
Berechne aus der Formel jeweils die fehlende Größe:
$ f = 3$ kg; $b = 1$ kg
$ g = 5$ kg; $b = \frac{1}{2}$ kg
$ g = 27,35$ kg; $b = 2,56$ kg
Setze zunächst die gegebenen Größen in die Formel ein.
Bestimme dann die Lösung.
$ g = 3$ kg $ + 1$ kg $\Lraq$
$ g = 4$ kg
$ 5$ kg $= f + \frac{1}{2}$ kg $\Lraq$
$ f + \frac{1}{2}$ kg $= 5$ kg $\Lraq$
$ f = 5$ kg $- \frac{1}{2}$ kg $= (4+\frac{1}{2})$ kg $= \frac{9}{2}$ kg
Zur einfacheren Schreibweise kannst du die Einheiten
beim Lösen der Gleichung weglassen.
$\displaystyle{\begin{array}{r l}
27,35 &=& f + 2,56 & \hint{(Seiten tauschen, damit f links steht)}
\\ f + 2,56 &=& 27,35 & \forthat -2,56 \hint{(auf beiden Seiten)}
\\ f + 2,56 -2,56 &=& 27,35 -2,56 &
\\ f &=& 24,79 &
\end{array}
}$
Erläuterung der obigen Berechnung:
Die gesuchte Variable soll am Ende auf der linken Seite stehen,
deshalb schreibst du die Gleichung mit getauschten Seiten an.
Damit von $f + 2,56$ nur $f$ übrig bleibt,
musst du die Umkehroperation zur Addition von $2,56$
durchführen.
Diese Umkehroperation ist die Subtraktion von $2,56$.
Mit $ \forthat -2,56 \quad$ notierst du,
dass du diese Umkehroperation auf beiden Seiten der Gleichung
in der nächsten Zeile ausführen wirst.
Aus der letzten Zeile ist sofort die Lösung ersichtlich.
Jetzt fehlt nur mehr die Antwort:
Die Masse der Flüssigkeit beträgt $24,79$ kg.
Die gleiche Methode wie oben kannst du auch zum
Umformen der Formel verwenden.
Wie du das machst, zeigt die nächste Lektion.
(Gleichungen der Form $x + a = b$)
B
Forme die Formel $\quad g = f + b \quad$ so um,
dass die Variable $b$ ausgedrückt wird.
$\begin{array}{r l}
g &=& f +b & \forthat -f \hint{(auf beiden Seiten)}
\\ g -f &=& f +b -f & \hint{(rechts Kommutativgesetz anwenden)}
\\ g -f &=& b +f -f
\\ g -f &=& b & \hint{(Seiten tauschen, damit b links steht)}
\\ b &=& g -f
\end{array}
$
$ \forthat -f \quad$ bedeutet, dass du in der folgenden Zeile
auf beiden Seiten der Gleichung $f$ subtrahieren wirst.
Zurückformen nach $g$:
$\begin{array}{r l}
b &=& g -f & \forthat +f \hint{(auf beiden Seiten)}
\\ b +f &=& g -f +f
\\ b +f &=& g & \hint{(Seiten tauschen)}
\\ g &=& f +b
\end{array}
$
Jetzt soll $f$ ausgedrückt werden:
$\begin{array}{r l}
g &=& f +b & \forthat -b \hint{(auf beiden Seiten)}
\\ g -b &=& f +b -b
\\ g -b &=& f & \hint{(Seiten tauschen)}
\\ f &=& g -b
\end{array}
$
Die Umkehroperation zum Addieren ist das Subtrahieren.
(Die Umkehroperation zum Subtrahieren ist daher das Addieren.)
B
Welche Zahl musst du von $\frac{16}{5}$ subtrahieren,
um $0,8$ zu erhalten?
Erstelle eine Gleichung und löse diese.
Der erste Schritt ist immer die Festlegung der Variablen.
Variable festlegen: $\quad y =$ gesuchte Zahl
Die Gleichung lautet damit: $\quad$
$ \frac{16}{5} - y = 0,8$
Die Gleichung zu lösen bedeutet, sie so umzuformen,
dass am Ende die Variable nur mehr auf der linken Seite alleine steht.
Dann ist die Lösung sofort ersichtlich.
Weil die Variable in der Gleichung hier subtrahiert wird,
führst du zuerst die Umkehroperation dazu auf beiden Seiten aus,
also die Addition von $y$.
$\begin{array}{r l}
\frac{16}{5} - y &=& 0,8 & \forthat +y \hint{(auf beiden Seiten)}
\\ \frac{16}{5} - y +y &=& 0,8 +y
\\ \frac{16}{5} &=& 0,8 +y & \hint{(Seiten tauschen, damit y links steht)}
\\ 0,8 +y &=& \frac{16}{5} & \forthat -0,8 \hint{(auf beiden Seiten)}
\\ 0,8 +y -0,8 &=& \frac{16}{5} -0,8 & \hint{(links Kommutativgesetz anwenden)}
\\ y + 0,8 -0,8 &=& \frac{16}{5} -0,8
\\ y &=& \frac{16}{5} - \frac{8}{10}
\\ y &=& \frac{32}{10} - \frac{8}{10}
\\ y &=& \frac{24}{10} = 2,4
\end{array}
$
Die gesuchte Zahl ist $\quad y = 2,4$.
Gleichungen der Form $x \cdot a = b$
B
Ein Laib Brot kostet $1,56$ Euro.
Wieviel kosten vier Laib?
Erstelle eine Gleichung (Formel), die den Zusammenhang ausdrückt.
Für die Formel musst du zuerst die Bedeutung der Variablen festlegen.
Variablen festlegen:
$\quad e =$ Einzelpreis
$\quad n =$ Stückzahl
$\quad p =$ Gesamtpreis
Der Zusammenhang ist: $\quad$
Einzelpreis
$\cdot$
Stückzahl
$=$
Gesamtpreis
Die Formel lautet:
$e$
$\cdot$
$n$
$=$
$p$
B
Für zwölf Flaschen Olivenöl sind $58,80$ Euro zu bezahlen.
Berechne aus der obigen Formel den Preis einer Flasche.
Angegeben sind die Stückzahl und der Gesamtpreis,
gesucht ist der Einzelpreis.
Schreibe die gegebenen Variablen an und
setze sie dann in die Formel ein.
$ n = 12$; $\quad p = 58,80$ Euro
$ e \cdot 12 = 58,80$
Aus dem Preis für zwölf (einzelne) Flaschen erhältst
du mittels Division durch zwölf den Einzelpreis.
Klar, das ist dir schon aus der Volksschule bekannt.
Jetzt schreibe wir diese Überlegung wieder als Umformung
der Gleichung auf.
$\begin{array}{r l}
e \cdot 12 &=& 58,80 & \forthat :12 & \hint{(beide Seiten)}
\\ \frac{e\cdot 12}{12} &=& \frac{58,80}{12} & & \hint{(links kürzen)}
\\ e &=& 58,80 : 12 & & \hint{(Nebenrechnung)}
\\ e &=& 4,90
\end{array}
$
Die Lösung der Gleichung ist $\quad e = 4,90$.
Der Preis einer einzelne Flasche beträgt $4,90$ Euro.
Auf die gleiche Weise kannst du die Formel so umformen,
dass $e$ oder $n$ ausgedrückt werden.
B
Forme die Formel $\quad e \cdot n = p \quad$ so um,
dass die Variable $e$ ausgedrückt wird.
$\begin{array}{r l}
e \cdot n &=& p & \forthat :n & \hint{(beide Seiten)}
\\ \frac{e\cdot \not{n}}{\not{n}} &=& \frac{p}{n}
\\ e &=& \frac{p}{n}
\end{array}
$
Wie du schon weißt, bedeutet $\forthat :n \quad$,
dass du in der folgenden Zeile
beide Seiten der Gleichung durch $n$ dividieren wirst.
Die Umkehrung zur Multiplikation mit $n$ ist die Division durch $n$.
Jetzt soll $n$ aus der Gleichung ausgedrückt werden:
$\begin{array}{r l}
e \cdot n &=& p & \forthat :e & \hint{(beide Seiten)}
\\ \frac{\not{e}\cdot n}{\not{e}} &=& \frac{p}{e}
\\ n &=& \frac{p}{e}
\end{array}
$
B
Forme die Formel $\quad \frac{x}{a} = b \quad$ so um,
dass die Variable $x$ ausgedrückt wird.
In der Gleichung wird $x$ durch $a$ dividiert.
Überlege, wie du die Division durch $a$ umkehren kannst.
$\begin{array}{r l}
\frac{x}{a} &=& b & \forthat \cdot a & \hint{(beide Seiten)}
\\ \frac{x}{a} \cdot a &=& b \cdot a & & \hint{(links kürzen)}
\\ x &=& b \cdot a
\end{array}
$
Durch die Multiplikation mit $a$ auf beiden Seiten der Gleichung
wird die Gleichung zu einer gleichwertigen (äquivalenten) Gleichung
umgeformt.
Diese Umformung heißt daher Äquivalenzumformung.
Die Umkehroperation zum Multiplizieren ist das Dividieren.
Die Umkehroperation zum Dividieren ist das Multiplizieren.
(Gleichungen der Form $x \cdot a = b$)
Wird eine Umkehroperation auf beide Seiten einer Gleichung angewandt,
so nennt man dies eine Äquivalenzumformung.
Bei den folgenden Beispiele sollst du die Lösung
der jeweiligen Gleichung durch passende Äquivalenzumformungen
ermitteln.
Führe auch jeweils die Probe durch.
B
$ d : 7 = 5$
$\begin{array}{r l}
d : 7 &=& 5 & & \hint{(als Bruch schreiben)}
\\ \frac{d}{7} &=& 5 & \forthat \cdot 7 & \hint{(beide Seiten)}
\\ \frac{d}{7} \cdot 7 &=& 5 \cdot 7 & & \hint{(kürzen)}
\\ \frac{d}{\not{7}} \cdot \not{7} &=& 5 \cdot 7
\\ d &=& 35
\end{array}
$
Die Lösung der Gleichung ist $\quad d = 35$.
Zur Erinnerung: Die Probe führst du durch, indem du die Lösung
in die gegebene ursprüngliche Gleichung einsetzt und
jeweils die linke und die rechte Seite der Gleichung berechnest.
B
$\displaystyle{ \frac{2}{3} \cdot c = \frac{8}{9} }$
Die Umkehroperation zur Multiplikation mit $\frac{2}{3}$
ist die Division durch $\frac{2}{3}$.
Erinnere dich, dass sich jede Division durch eine Multiplikation
mit dem Kehrwert ersetzen lässt,
$\begin{array}{r l}
\frac{2}{3} \cdot c &=& \frac{8}{9} & \forthat : \frac{2}{3}
\\ \frac{2}{3} \cdot c : \frac{2}{3} &=& \frac{8}{9} : \frac{2}{3}
\\ \frac{2}{3} \cdot c \cdot \frac{3}{2} &=& \frac{8}{9} \cdot \frac{3}{2}
\\ \frac{\not{2}\cdot c \cdot \not{3}}{\not{3} \cdot \not{2}} &=& \frac{8 \cdot 3}{9 \cdot 2}
\\ c &=& \frac{4}{3}
\end{array}
$
Beachte, dass auch auf der rechten Seite gekürzt wird,
falls es möglich ist.
Kürzere Variante:
Du kannst als Umkehroperation zur Multiplikation mit $\frac{2}{3}$
auch gleich die Multiplikation mit dem Kehrwert $\frac{3}{2}$ anwenden.
$\begin{array}{r l}
\frac{2}{3} \cdot c &=& \frac{8}{9} & \forthat \cdot \frac{3}{2}
\\ \frac{2}{3} \cdot c \cdot \frac{3}{2} &=& \frac{8}{9} \cdot \frac{3}{2}
\\ \frac{\not{2}\cdot c \cdot \not{3}}{\not{3} \cdot \not{2}} &=& \frac{8 \cdot 3}{9 \cdot 2}
\\ c &=& \frac{4}{3}
\end{array}
$
Die Lösung der Gleichung ist $\quad c = \frac{4}{3}$.
Es ist fast immer günstiger, anstatt einer Division durch einen Bruch
die Multiplikation mit dem Kehrwert zu nehmen.
B
$\displaystyle{ \frac{5}{4} \cdot y = \frac{15}{28} }$
Die Umkehroperation zur Multiplikation mit $\frac{5}{4}$
ist die Division durch $\frac{4}{5}$.
Weil dass sich jede Division durch eine Multiplikation
mit dem Kehrwert ersetzen lässt,
kannst du auch die Multiplikation mit dem Kehrwert $\frac{4}{5}$
als Äquivalenzumformung verwenden.
$\begin{array}{r l}
\frac{5}{4} \cdot y &=& \frac{15}{28} & \forthat \cdot \frac{4}{5}
\\ \frac{5}{4} \cdot y \cdot \frac{4}{5} &=& \frac{15}{28} \cdot \frac{4}{5}
\\ \frac{\not{5}\cdot y \cdot \not{4}}{\not{4} \cdot \not{5}} &=& \frac{15 \cdot 4}{28 \cdot 5}
\\ y &=& \frac{3 \cdot 4}{28}
\\ y &=& \frac{3}{7}
\end{array}
$
Die Lösung ist immer soweit wie möglich zu kürzen.
Die Lösung der Gleichung ist $\quad y = \frac{3}{7}$.
Auf diese Gleichung kannst du noch keine Äquivalenzumformung anwenden.
Zuerst musst du jede Seite der Gleichung zusammenfassen.
Die rechte Seite ist schon vereinfacht,
aber die linke Seite lässt zusammenfassen.
Du hast sicher schon herausgefunden,
was du statt $k + 5k$ einfacher schreiben kannst.
$\begin{array}{r l}
k + 5k &=& 36 & & \guide{(Zusammenfassen)}
\\ 6k &=& 36 & \forthat : 6 & \guide{(Umformen)}
\\ \frac{6k}{6} &=& \frac{36}{6} & & \guide{(Kürzen)}
\\ \frac{\not{6}k}{\not{6}} &=& 6
\\ k &=& 6
\end{array}
$
Die Lösung der Gleichung ist $\quad k = 6$.
Äquivalenzumformung:
Durch Anwenden einer Umkehroperation auf beide Seiten einer Gleichung
erhält man eine äquivalente (gleichwertige) Gleichung,
die dieselbe Lösung hat.
Die Umformung muss dabei auf beide Seiten der Gleichung
gleich angewandt werden.
Fur die zwei grundlegenden Gleichungstypen,
die du in den letzten Lektionen kennengelernt hast,
sind hier die äquivalenten Formeln kurz zusammengefasst.
(Die Umformungsanweisung ist dabei weggelassen.)
Äquivalente Gleichungen:
$$ a + b = c \Lraq \left\{
\begin{array}{r l}
a &=& c - b
\\ b &=& c - a
\end{array}
\right\}
$$
$$ a \cdot b = c \Lraq \left\{
\begin{array}{r l}
a &=& \frac{c}{b}
\\ b &=& \frac{c}{a}
\end{array}
\right\}
$$
B
Ermittle die Lösungsmenge der Gleichung und führe die Probe durch:
$\displaystyle{ 14b - 8b = 14 - 5}$
$\begin{array}{r l}
14b - 8b &=& 14 - 5 & & \hint{(Zusammenfassen)}
\\ 6b &=& 9 & \forthat : 6
\\ \frac{6b}{6} &=& \frac{9}{6} && \hint{(Kürzen)}
\\ b &=& \frac{3}{2}
\end{array}
$
Die Lösung der Gleichung ist $\quad b = \frac{3}{2}$.
Die Lösungsmenge ist $\quad L = \{\frac{3}{2}\}$
Die Gleichung hat nun eine einfache Form,
die Variable steht schon auf der richtigen Seite.
Die Umkehroperation zur Multiplikation mit $\frac{7}{2}$
ist die Multiplikation mit dem Kehrwert.
Vor dem Kürzen schreibst du die Multiplikationen
links und rechts jeweils auf einen gemeinsamen Bruchstrich.
$\begin{array}{r l}
\frac{7\cdot u \cdot 2}{2 \cdot 7} &=& \frac{21\cdot 2}{10\cdot 7} && \hint{(Kürzen)}
\\ \frac{\not{7}\cdot u \cdot \not{2}}{\not{2} \cdot \not{7}} &=& \frac{3\cdot 1}{5\cdot 1}
\\ u &=& \frac{3}{5}
\end{array}
$
Die Lösung der Gleichung ist $\quad u = \frac{3}{5}$.
Die Lösungsmenge ist $\quad L = \{\frac{3}{5}\}$
B
$ \frac{3}{8} x + \frac{1}{6} x = \frac{29}{30} - \frac{1}{10}$
Ermittle die Lösung der Gleichung und mache die Probe.
Das schaut einigermaßen kompliziert aus, oder?
Aber wenn du strukturiert (geordnet) vorgehst,
ist es nicht schwer.
Du weißt, dass Brüche zum Addieren und Subtrahieren
einen gemeinsamen (gleichen) Nenner haben müssen.
Das ist hier der erste Schritt.
Nun erweiterst du die Brüche auf den jeweiligen gemeinsamen Nenner.
$\begin{array}{r l}
\\ \frac{3}{8} x + \frac{1}{6} x &=& \frac{29}{30} - \frac{1}{10} & \guide{(Erweitern)}
\\ \frac{3\cdot 3}{8 \cdot 3} x + \frac{1\cdot 4}{6 \cdot 4} x
&=& \frac{29}{30} - \frac{1\cdot 3}{10\cdot 3}
\\ \frac{9}{24} x + \frac{4}{24} x &=& \frac{29}{30} - \frac{3}{30} & \guide{(Zusammenfassen)}
\\ \frac{13}{24} x &=& \frac{26}{30} & \guide{(Kürzen)}
\\ \frac{13}{24} x &=& \frac{13}{15}
\end{array}
$
Nachdem du die Addition beziehungsweise Subtraktion
zusammengefasst (und gekürzt) hast, musst du überlegen,
welche Umkehroperation du für die Äquivalenzumformung brauchst.
Das Ziel dabei ist eine Gleichung,
bei der die Variable links alleine steht.
Start
Education
Curiosities
Download
Illuminations
Information
Justice
Roots
Secrets