$\alpha$ und $\beta$ sind anliegende Winkel der Seite $c$.
$\gamma$ ist der der Seite $c$ gegenüberliegende Winkel.
B
Zeichne das folgende Dreieck $ABC$ und ergänze die Beschriftung
der Eckpunkte, Seiten und Winkel.
Einteilung der Dreiecke
Dreiecke werden nach ihren Seitenlängen oder ihren Winkeln eingeteilt.
Nach der Anzahl gleicher Seitenlängen
keine Seiten gleich lang
zwei Seiten gleich lang
alle Seiten gleich lang
ungleichseitig
gleichschenkelig
gleichseitig
Verwende zum Zeichnen des gleichschenkeligen und des gleichseitigen Dreiecks
einen Zirkel.
Jedes gleichseitige Dreieck ist auch ein gleichschenkeliges.
Nach der Art der Winkel
alle Winkel $\lt 90^\circ$
ein Winkel $= 90^\circ$
ein Winkel $\gt 90^\circ$
spitzwinkelig
rechtwinkelig
stumpfwinkelig
Beginne die Zeichnung des rechtwinkeligen Dreiecks mit dem rechten Winkel.
Die Winkelsumme im Dreieck
B
Zeichne unterschiedliche, spitz-, stumpf- und rechtwinkelige Dreiecke auf,
miss ihre Winkel ab und berechne die Summe der drei Winkel.
Was fällt dir auf?
Es ist kein Zufall, das die Summe der Winkel bei all deinen Dreiecken
jedesmal $180^\circ$ ergibt
Wir können das auch beweisen.
Beginne mit einem Dreieck.
Zeichne dann wie in der folgenden Skizze durch den Eckpunkt $B$
eine Parallele zu $AC$.
Wie groß ist die Winkelsumme $\alpha_1 + \beta + \gamma_1$?
$\alpha_1$, $\beta$ und $\gamma_1$ bilden zusammen einen gestreckten Winkel.
Daher ist $\alpha_1 + \beta + \gamma_1 = 180^\circ$.
Vergleiche den Winkel $\alpha_1$ mit $\alpha$ sowie $\gamma_1$ mit $\gamma$.
Was erkennst Du?
$\alpha_1$ ist ein gleich großer Parallelwinkel zu $\alpha$.
$\gamma_1$ ist ein gleich großer Parallelwinkel zu $\gamma$.
Daher gilt $\alpha_1 = \alpha$ und $\gamma_1 = \gamma$,
und deswegen ist auch $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$.
Die Summe der Winkel beträgt in jedem Dreieck $180^\circ$.
B
Überlege folgende Fragen und schreibe die Antworten ins Heft:
Wieviele stumpfe Winkel können in einem Dreieck auftreten?
Wieviele rechte Winkel kann ein Dreieck haben?
Wie groß müssen die drei Winkel in einem gleichseitigen Dreieck sein?
(Auflösung das nächste Mal.)
(Die Winkelsumme im Dreieck)
B
Überlege folgende Fragen und schreibe die Antworten ins Heft:
Wieviele stumpfe Winkel können in einem Dreieck auftreten?
Wieviele rechte Winkel kann ein Dreieck haben?
Wie groß müssen die drei Winkel in einem gleichseitigen Dreieck sein?
In einem Dreieck kann nur ein stumpfer Winkel auftreten,
die beiden anderen sind spitz.
In einem Dreieck kann nur ein rechter Winkel auftreten,
die beiden anderen sind spitz.
Wenn alle drei Winkel gleich groß sind,
dann mißt jeder dieser Winkel $\frac{180^\circ}{3} = 60^\circ$.
Man erhält ein gleichwinkeliges (= gleichseitiges) Dreieck.
Dreieckskonstruktion
Lisa hat dieses Dreieck gezeichnet:
Mit Hilfe welcher Angaben kann Hubert dieses Dreieck in sein Heft übertragen?
Welche Bestimmungsstücke braucht man, um ein bestimmtes Dreieck zeichnen zu können?
Um möglichst schnell und richtig eine Figur
aus den jeweiligen Angaben konstruieren zu können,
ist die vorangehende Ausführung einer Konstruktionsbeschreibung
unerlässlich.
Konstruktionsbeschreibung (KB)
Zeichne eine (Freihand-)Skizze der zu konstruierenden Figur.
Beschrifte die Eckpunkte und die vorgegebene Längen und Winkel.
Beschreibe den Konstruktionsvorgang:
Notiere kurz jeden Schritt.
Vermerke die dabei gefundenen Eckpunkte.
Die Konstruktionsbeschreibung ist fertig,
wenn alle Eckpunkte der Figur als gefunden eingetragen sind.
Durch Verbinden der Eckpunkte erhältst du die Figur.
Dreieckskonstruktion mit drei Seiten
B
Konstruiere ein Dreieck $ABC$, wobei
$a = 38\,mm$, $b = 46\,mm$, $c = 55\,mm$ lang sind.
Beginne mit der Seite $c$.
Den Eckpunkt $C$ findest du, indem du mit dem Zirkel
von $A$ aus einen Kreisbogen mit dem Radius $b$
und von $B$ aus einen mit Radius $a$ abschlägst.
Die Kreisbögen haben einen zweiten möglichen Schnittpunkt $C'$.
KB:
$c \Raq A, B$
Zirkel: $k(A,b) \cap k(B,a)$ $\Raq C, C'$
Das Dreieck $BAC'$ ist spiegelverkehrt zum Dreieck $ABC$.
B
Konstruiere die folgenden Dreiecke:
(Was fällt dir bei a), was bei b) auf?)
Mit diesen Angaben kann kein Dreieck gezeichnet werden!
Dreiecksungleichungen
Es gilt in jedem Dreieck (mit den Seiten $a$, $b$, $c$):
$a \lt b + c$
$b \lt a + c$
$c \lt a + b$
Kongruenz
Wie lässt sich überprüfen, ob die im obigen Beispiel a)
konstruierten Dreiecke der Schulkinder gleich sind?
Durch Ausschneiden und Aufeinanderlegen kann überprüft werden,
ob zwei Dreiecke deckungsgleich (kongruent) sind.
Im Heft kann ein Dreieck (ohne Ausschneiden) durch
Parallelverschieben und Drehen mit einem anderen
zur Deckung gebracht werden.
Die Bedingungen für die Deckungsgleichheit (Kongruenz)
werden durch vier Kongruenzsätze beschrieben.
Hier ist der erste Kongruenzsatz:
Seiten-Seiten-Seiten Satz (SSS)
Wenn zwei Dreiecke in ihren drei Seitenlängen übereinstimmen,
dann sind sie kongruent (deckungsgleich).
Man kann auch sagen:
Wenn ein Dreiecke durch seine drei Seitenlängen gegeben ist,
dann ist es eindeutig konstruierbar.
(Die Dreiecksungleichungen müssen erfüllt sein.)
Dreieckskonstruktion mit zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel
Wie lässt sich ein Dreieck konstruieren,
wenn zwei Seiten und der von diesen beiden Seiten eingeschlossene Winkel
gegeben sind?
B
Konstruiere das Dreieck $ABC$, wobei
$b = 57\,mm$, $c = 82\,mm$ und $\alpha = 37^\circ$ sind.
KB:
$c \Raq A, B$
$\alpha$
$b \Raq C$
Seiten-Winkel-Seiten Satz (SWS)
Zwei Dreiecke sind kongruent,
wenn sie in zwei Seitenlängen
und dem von diesen beiden Seiten eingeschlossenen Winkel
übereinstimmen.
Mit diesen Angaben ist ein Dreieck auch eindeutig konstruierbar.
B
Nazli möchte herausfinden, wie hoch ihr Wohnhaus ist.
Wenn sie $100$ Meter vom Haus entfernt steht,
erblickt sie hinter diesem gerade noch die Spitze eines $88$ Meter hohen Schornsteins.
(siehe Skizze).
Nazli weiß auch, dass der Schornstein $160$ Meter hinter dem Haus steht.
Hilf Nazli, indem du eine maßstabsgerechte Zeichnung anfertigst,
die gesuchte Strecke abmisst und daraus die Höhe des Hauses berechnest.
Wähle den Maßstab so, dass die längste gegebene Strecke noch Platz im Heft hat:
$100$ m + $160$ m $= 260$ m $= 26000 $ cm $\hateq 13$ cm (im Heft)
$\Ra$ Maßstab $\quad 13 : 26000 = 1 : 2000 = \frac{1}{2000}$
Berechne die verkleinerten Längen für die Zeichnung:
Schornsteinhöhe:
$\quad a = \frac{1}{2000}$ von $88$ m $=\frac{1}{2000}$ von $8800$ cm
$ = 1\cdot\frac{8800}{2000}$ cm $= 4,4$ cm
Nazlis Abstand zum Haus:
$\quad c_1 = \frac{1}{2000}$ von $100$ m $= 5$ cm
Abstand des Schornsteins vom Haus:
$\quad c_2 = \frac{1}{2000}$ von $160$ m $= 8$ cm
Von Nazli bis zum Fuß des Schornsteins:
$\quad c = c_1 + c_2 = 5$ cm $+ 8$ cm $= 13$ cm
KB:
(Skizze siehe Angabe)
$c \Raq A, B$
$\beta = 90^\circ$
$a \Raq C$
Messung: $\quad \ol{GH} = 1,7$ cm $\Raq$
Haushöhe $= \frac{2000}{1}$ von $1,7$ cm
$= \frac{2000}{1} \cdot 1,7$ cm
$= 3500$ cm $= 35$ m
Nazlis Wohnhaus ist ungefähr $35$ Meter hoch.
Dreieckskonstruktion mit einer Seite und zwei Winkeln
Das erste Beispiel zeigt die Vorgangsweise,
wenn die beide Winkel anliegend zur gegebenen Seite sind.
B
Konstruiere das Dreieck $ABC$, wobei
$c = 7\,cm$, $\alpha = 48^\circ$ und $\beta = 35^\circ$ sind.
KB:
$c \Raq A, B$
$\alpha$
$\beta \Raq C$
Wenn einer der beiden Winkel der gegebenen Seite gegenüberliegt,
findest du den fehlenden Eckpunkt durch Parallelverschieben.
Das nächste Beispiel zeigt dies.
B
Konstruiere das Dreieck $ABC$, wobei
$c = 8,5\,cm$, $\alpha = 52^\circ$ und $\gamma = 110^\circ$ sind.
Beginne mit der gegebenen Seite $c$
und zeichne den anliegenden Winkel $\alpha$ (also seinen zweiten Schenkel).
Wähle dann einen beliebigen Punkt $S$ auf dem zweiten Schenkel
als Scheitel für den gegenüberliegenden Winkel $\gamma$
und zeichne diesen.
Konstruiere die Parallele durch $B$ wie in der Skizze unten.
KB:
$c \Raq A, B$
$\alpha$
$S, \gamma$
Parallele durch $B \Raq C$
Aus zwei Winkeln im Dreieck lässt sich immer der dritte berechnen.
Im obigen Beispiel gilt:
$\quad \beta = 180^\circ - \alpha - \gamma = 18^\circ$
Damit kannst du auch nach dem Konstruktionsverfahren
mit zwei anliegenden Winkeln vorgehen.
Winkel-Seiten-Winkel Satz (WSW)
Zwei Dreiecke sind kongruent,
wenn sie in einer Seitenlänge
und zwei (anliegenden) Winkeln übereinstimmen.
Mit diesen Angaben ist ein Dreieck auch eindeutig konstruierbar.
Dreieckskonstruktion mit zwei Seiten und einem nicht-eingeschlossenen Winkel
B
Konstruiere das Dreieck $ABC$, wobei
$c = 68\,mm$, $a = 76$ mm und $\alpha = 52^\circ$ sind.
Beginne mit dem gegebenen Winkel $\alpha$.
Trage die anliegende Seite $c$ auf dem entsprechenden Schenkel auf.
Schlage mit dem Zirkel von $B$ aus die Seite $a$ ab.
KB:
$\alpha$
$c \Raq A, B$
Zirkel: $k(B, a) \Raq C$
In obigen Beispiel liegt der gegebene Winkel der längeren
der beiden gegebenen Seiten gegenüber.
Andernfalls ist die Angabe nicht eindeutig,
wie das nächste Beispiel (mit vertauschten Seitenlängen) zeigt.
B
Konstruiere das Dreieck $ABC$, wobei
$c = 76\,mm$, $a = 68$ mm und $\alpha = 52^\circ$ sind.
KB:
$\alpha$
$c \Raq A, B$
Zirkel: $k(B, a) \Raq C$
Mit diesen Angaben gibt es zwei mögliche Dreiecke: $ABC$ und $ABC_1$.
Einen Kongruenzsatz können wir daher nur
für den Fall des ersten Beispiels formulieren:
Seiten-Seiten-Winkel Satz (SsW)
Zwei Dreiecke sind kongruent,
wenn sie in zwei Seitenlängen
und jenem Winkel übereinstimmen,
der der längeren Seite gegenüberliegt.
Mit diesen Angaben ist ein Dreieck auch eindeutig konstruierbar.
Höhen des Dreiecks
B
Zeichne eine Gerade $g$ und einen Punkt $P$.
Konstruiere die kürzeste Verbindung des Punktes zur Geraden.
Errichte die Normale durch $P$ auf $g$.
Die kürzeste Verbindung des Punktes $P$ zur Geraden $g$
ist der Normalabstand $\ol{PF}$ des Punktes von der Geraden.
$F$ heißt Fußpunkt des Abstands.
Insbesondere für ein Dreieck gilt:
Der Normalabstand eines Eckpunkts von der gegenüberliegenden
Dreiecksseite heißt Höhe.
Die Normale durch einen Eckpunkt auf die gegenüberliegende
Dreiecksseite heißt Höhengerade.
B
Zeichne das Dreieck $ABC$, wobei
$a = 5$ cm, $c = 6$ cm und $\beta = 115^\circ$ sind.
Konstruiere die drei Höhengeraden.
Zeichne die drei Höhen $h_a$, $h_b$ und $h_c$ ein
und bestimme deren Längen.
KB:
$c \Raq A, B$
$\beta$
$a \Raq C$
Um die Höhen einzeichnen zu können, musst Du gegebenenfalls
die Seiten des Dreiecks verlängern.
Die Längen der Höhen sind: $\quad$
$h_a = 5,4$ cm $\quad$
$h_b = 2,9$ cm $\quad$
$h_c = 4,5$ cm
Dir ist sicher aufgefallen, dass sich die drei Höhengeraden
im Punkt $H$ schneiden.
Das ist kein Zufall.
In jedem Dreieck schneiden einander die drei Höhengeraden
genau in einem Punkt, dem Höhenschnittpunkt.
Beim obigen Beispiel liegt der Höhenschnittpunkt außerhalb des Dreiecks.
Hast du eine Vermutung, wovon die Position des Schnittpunkts abhängt?
B
Zeichne das Dreieck $ABC$, wobei
$a = 7$ cm, $c = 6$ cm und $\alpha = 70^\circ$ sind.
Konstruiere den Höhenschnittpunkt und ermittle die Längen der drei Höhen.
KB:
$\alpha$
$c \Raq A, B$
Zirkel: $k(B, a) \Raq C$
Bei diesem Dreieck liegt der Höhenschnittpunkt innerhalb des Dreiecks.
Die Längen der Höhen sind: $\quad$
$h_a = 5,3$ cm $\quad$
$h_b = 5,6$ cm $\quad$
$h_c = 6,6$ cm
Du hast sicher erkannt, dass die Lage des Höhenschnittpunkt
von der Form des Dreiecks abhängt.
Der Höhenschnittpunkt liegt bei einem spitzwinkeligen Dreieck innerhalb,
bei einem stumpfwinkeligen außerhalb des Dreiecks.
Bei einem rechtwinkeligen Dreieck fällt der Höhenschnittpunkt
mit dem Eckpunkt des rechten Winkels zusammen.
Schwerlinien des Dreiecks
Du kennst Schwerlinien schon aus dem Physikunterricht.
Alle Schwerlinien schneiden einander in einem Punkt, dem Schwerpunkt.
Allgemein kannst du die Schwerlinien experimentell mit einem Lot bestimmen,
oder indem du den Körper so auf eine Kante legst,
dass er im Gleichgewicht ist.
Bei einem Dreieck findet man auf diese Weise drei besondere Schwerlinien.
Du kannst das leicht selbst überprüfen:
Zeichne ein Dreieck auf Karton (A6 bis A5) und schneide es aus.
Lege es ausbalanciert so auf einen Bleistift (oder die Kante eine Lineals),
dass ein Eckpunkt des Dreiecks genau auf der (Bleistift-)Kante
zu liegen kommt.
Markiere die Stelle, wo der Bleistift die dem Eckpunkt gegenüberliegende
Seite trifft und zeichne die Schwerlinie von dieser Stelle
zum (gegenüberliegenden) Eckpunkt auf den Karton.
Mache das gleiche für die zwei anderen Eckpunkte.
Wahrscheinlich ist dir schon aufgefallen,
dass diese Schwerlinien jeweils vom Eckpunkt zum Halbierungspunkt
der gegenüberliegenden Seite gehen.
Wie findet man diese Halbierungspunkte?
Streckensymmetrale
B
Zeichne eine Strecke $\ol{PQ}$ und konstruiere die Streckensymmetrale $s_{PQ}$.
Verwende den Zirkel um von $P$ und $Q$ jeweils Kreisbögen
mit gleichem Radius abzuschlagen.
Die Streckensymmetrale geht durch beide Schmetterlinge.
Der Schnittpunkt der Strecke $\ol{PQ}$ mit der Streckensymmetrale $s_{PQ}$
ist der Halbierungspunkt (Mittelpunkt) $M$ der Strecke:
$ \ol{PQ} \cap s_{PQ} = \{ M \} $
Eine Strecke $\ol{AB}$ und ihre Streckensymmetrale $s_{AB}$ stehen normal aufeinander.
Die Streckensymmetrale $s_{AB}$ besteht aus allen Punkten ($X$),
die von $A$ und $B$ gleich weit entfernt sind.
$ s_{AB} = \{X \,|\, \ol{XA} = \ol{XB}\} $
Wenn du die Mittelpunkte der Dreiecksseiten kennst,
kannst du die drei besonderen Schwerlinien leicht einzeichnen.
B
Zeichne ein beliebiges Dreieck $ABC$
(etwa $a = 8$ cm, $b = 6$ cm, $c = 9$ cm).
Konstruiere die Schwerlinien $s_A$, $s_B$ und $s_C$
durch die drei Eckpunkte.
KB:
$c \Raq A, B$
Zirkel: $k(A,b) \cap k(B,a)$ $\Raq C$
Konstruiere zunächst mit Hilfe der Seitensymmetralen
die jeweiligen Halbierungspunkte der drei Seiten.
Zeichne dann durch jeden Eckpunkt die Schwerlinie
zur Mitte der gegenüberliegenden Seite.
Die drei Schwerlinien $s_A$, $s_B$ und $s_C$ schneiden
einander im Schwerpunkt $S$.
In jedem Dreieck schneiden einander die Schwerlinien
genau in einem Punkt, dem Schwerpunkt.
Umkreis des Dreiecks
Ist es möglich, zu einem Dreieck einen Kreis zu zeichnen,
der durch die drei Eckpunkte des Dreiecks geht?
Der Mittelpunkt eines solchen Kreises muss jedenfalls von
allen drei Eckpunkten gleich weit (nämlich den Radius $r_U$)
entfernt sein.
Wie kannst du den Mittelpunkt finden?
B
Zeichne das Dreieck, das durch die Punkte
$A(1,5/1)$, $B(8,5/2,5)$ und $C(3/6)$ gegeben ist.
Konstruiere den Mittelpunkt $U$ des Umkreises $k_U$
und bestimme die Koordinaten des Umkreismittelpunkts.
Zeichne den Umkreisradius $r_U$ ein und gib seine Länge an.
Zeichne den Umkreis des Dreiecks.
Da der Umkreismittelpunkt von $A$ und $B$ gleich weit weg sein soll,
muss er auf der Seitensymmetrale $s_{AB}$ liegen.
$U$ muss aber auch von $B$ und $C$ gleich weit enfernt sein,
also zusätzlich auf der Seitensymmetrale $s_{BC}$ liegen.
Weil $U$ auf beiden Symmetralen liegen muss,
ist der Umkreismittelpunkt der Schnittpunkt der Seitensymmetralen.
Zur Kontrolle zeichnest du die dritte Seitensymmetrale $s_{AC}$ ein.
Der Umkreismittelpunkt hat die Koordinaten $\quad$
$U = (4,8/2,7)$.
Der Radius des Umkreises beträgt $\quad$
$r_U = 3,7$ cm.
Jedes Dreieck hat einen Umkreis $k_U$.
Der Mittelpunkt $U$ des Umkreises ist der Schnittpunkt
der drei Seitensymmetralen
Diesen Zusammenhang kannst du dir mit dem Kürzel SUM merken
(Seitensymmetralen $\Ra$ UMkreis).
B
Zeichne das Dreieck $ABC$, wobei
$b = 8,5$ cm, $c = 5$ cm und $\beta = 100^\circ$ sind.
Konstruiere den Umkreiskreis und ermittle den Umkreisradius.
Konstruiere weiters den Schwerpunkt $S$.
KB:
$c \Raq A, B$
$\beta$
Zirkel: $k(A, b) \Raq C$
Zuerst konstruierst du das Dreieck, dann die Seitensymmetralen
und den Umkreis.
Weil du die Halbierungspunkte der Seiten bereits gefunden hast,
kannst du anschließend leicht die Schwerlinien einzeichnen
und so den Schwerpunkt ermitteln
Der Radius des Umkreises beträgt $\quad$
$r_U = 4,3$ cm.
Winkelsymmetrale
Dir ist schon bekannt,
dass eine Streckensymmetrale $s_{AB}$ aus allen Punkten besteht,
die von zwei Punkten $A$ und $B$ gleich weit entfernt sind.
Wo liegen die Punkte, die von zwei Geraden $g$ und $h$
jeweils den gleichen Abstand haben?
B
Zeichne zwei beliebige, einander schneidende Gerade $g$ und $h$.
Konstruiere alle Punkte, die von $g$ und $h$ gleich weit entfernt sind.
Wahrscheinlich hast du dir schon überlegt, dass die gesuchten Punkte
auf einer Geraden in der Mitte zwischen $g$ und $h$
liegen.
Verwende den Zirkel um auf beiden Geraden
zwei vom Schnittpunkt gleich weit entfernte Punkte zu markieren.
Schlage dann mit dem Zirkel von jedem dieser Punkte einen Kreisbogen
mit gleichem Radius ab.
Die Winkelsymmetrale $w_1$ geht durch den Schmetterling
und den Schnittpunkt von $g$ und $h$.
Es gibt allerdings noch weitere Punkte,
die von $g$ und $h$ jeweils den gleichen Abstand haben:
Die beiden Geraden haben zwei Winkelsymmetralen.
Eine Winkelsymmetrale halbiert den zugehörigen Winkel.
Alle Punkte auf der Winkelsymmetrale haben von den Winkelschenkeln
den gleichen Abstand.
$ w_1 \cup w_2 = \{X \,|\, \ol{Xg} = \ol{Xh}\} $
Hast du bemerkt, dass das Winkelsymmetralenpaar $w_1$ und $w_2$
normal aufeinander steht?
B
Zeichne einen Winkel $\alpha = 135^\circ$ und teile ihn
in vier gleich große von Winkel.
Bestimme die Größe der Teilwinkel durch Messung.
Um diese Aufgabe zu lösen, musst du drei Winkelsymmetralen
konstruieren.
Die erste ($w_\alpha$) halbiert den gegebenen Winkel $\alpha$,
die beiden anderen ($w_2$ und $w_3$) halbieren jeweils eine Winkelhälfte.
Die Größe der Teilwinkel ist $\quad$
$\frac{\alpha}{4} \approx 34^\circ$.
Inkreis des Dreiecks
Du weißt bereits, dass es zu jedem Dreieck einen Kreis gibt,
der durch die drei Eckpunkte geht.
Vielleicht hast du dich gefragt,
ob es auch einen Kreis im Inneren des Dreiecks gibt,
der die drei Seiten berührt.
Der Mittelpunkt eines solchen Inkreises muss von
allen drei Seiten den gleichen Abstand $\rho$ haben
(rho, $\rho$ ist ein griechischer Kleinbuchstabe).
Hast du eine Idee, wie du den Mittelpunkt findest?
B
Zeichne das Dreieck, das durch die Punkte
$A(1,5/1)$, $B(8,5/2,5)$ und $C(3/6)$ gegeben ist.
Konstruiere den Mittelpunkt $I$ des Inkreises $k_I$
und bestimme die Koordinaten des Inkreismittelpunkts.
Bestimme die Punkte $T_a$, $T_b$ und $T_c$,
an denen der Inkreis die Seiten berührt.
Zeichne den Inkreis des Dreiecks und
gib die Länge des Inkreisradius $\rho$ an.
Vermutlich hast du schon herausgefunden,
wie man den Mittelpunkt des Inkreises bestimmt.
Der Inkreismittelpunkt soll von $b$ und $c$ gleich weit weg sein,
daher muss er auf der Winkelsymmetrale $w_\alpha$ liegen.
$I$ ist ebenso von $a$ und $c$ gleich weit enfernt sein,
also geht auch die Winkelsymmetrale $w_\beta$
(genauso wie $w_\gamma$) durch $I$.
Der Inkreismittelpunkt ist deshalb der Schnittpunkt der Winkelsymmetralen.
Zeichne das Dreieck und konstruiere die Winkelsymmetralen.
Bestimme die Berührpunkte auf den Seiten ($T_a$, $T_b$, $T_c$),
indem du auf jede Seite die Normale durch den Inkreismittelpunkt
konstruierst.
Damit hast du auch den Inkreisradius $\rho$ ermittelt und
kannst den Inkreis zeichnen.
Der Inkreismittelpunkt hat die Koordinaten $\quad$
$I = (4,0/3,3)$.
Der Radius des Inkreises beträgt $\quad$
$\rho = 1,7$ cm.
Jedes Dreieck hat einen Inkreis $k_I$.
Die Seiten des Dreiecks sind Tangenten des Inkreises.
Der Mittelpunkt $I$ des Inkreises ist der Schnittpunkt
der drei Winkelsymmetralen.
Mit dem Kürzel WIN (Winkelsymmetralen $\Ra$ INkreis)
kannst du dir diesen Zusammenhang merken.
B
Zeichne ein beliebiges Dreieck $ABC$
(etwa $a = 7$ cm, $b = 6$ cm, $c = 8$ cm).
Konstruiere den Inkreis und einen weiteren,
möglichst kleinen konzentrischen Kreis,
der das Dreieck enthält.
Bestimme die Dicke des Kreisrings.
Konzentrische Kreise haben denselben Mittelpunkt.
Zwei konzentrischen Kreise bilden einen Kreisring.
KB:
$c \Raq A, B$
Zirkel: $k(A,b) \cap k(B,a)$ $\Raq C$
Zeichne das Dreieck und konstruiere zunächst die Winkelsymmetralen,
die Berührpunkte und dann den Inkreis.
Für den Kreisring brauchst du noch einen zweiten Kreis,
der durch jenen Eckpunkt geht,
der vom Inkreismittelpunkt die größte Entfernung hat.
Die Dicke des Kreisrings ist der Abstand des inneren vom
äußeren Kreis.
Der Radius des Inkreises beträgt $\quad$
$\rho = 1,9$ cm.
Die Dicke des Kreisrings ist $\quad$
$d = 3,0$ cm.
Besondere Punkte im Dreieck
Du kennst jetzt die vier besonderen Punkte des Dreiecks:
$H$ Höhenschnittpunkt:
Schnittpunkt der Höhengeraden.
Eine Höhengerade geht durch einen Eckpunkt und
steht normal auf die gegenüberliegende Seite.
$U$ Umkreismittelpunkt:
Schnittpunkt der Seitensymmetralen (SUM).
Eine Seitensymmetrale halbiert die entsprechende Seite.
$S$ Schwerpunkt:
Schnittpunkt der Schwerlinien.
Eine Schwerlinie geht durch einen Eckpunkt und
den Halbierungspunkt der gegenüberliegenden Seite.
$I$ Inkreismittelpunkt:
Schnittpunkt der Winkelsymmetralen (WIN).
Eine Winkelsymmetrale halbiert den entsprechenden Winkel.
B
Gegeben ist das Dreieck $ABC$:
$A(2/1)$, $C(3/5)$, $a = 5$ cm, $\gamma = 110^\circ$.
Konstruiere die vier besonderen Punkte ($H$, $U$, $S$ und $I$)
und bestimme ihre Koordinaten.
KB:
$\ol{AC} = b \Raq A, C$
$\gamma$
$a \Raq B$
Gehe schrittweise vor und konstruiere die Punkte in der
angegebenen Reihenfolge.
Um dir einen besser Überblick zu gewähren,
sind die zur Konstruktion nötigen Schmetterlinge
in der folgenden Zeichnung nicht zu sehen.
Verwende große Radien für die Schmetterlinge,
damit sie außerhalb des Dreiecks liegen.
So erhöhst du auch die Genauigkeit deiner Arbeit.
Die besonderen Punkte haben folgende Koordinaten:
$H = (1,4/7,2)$;
$U = (5,8/2,2)$;
$S = (4,3/3,8)$;
$I = (3,9/3,9)$
Wenn du eine Gerade durch $H$ und $U$ ziehst,
wird dir etwas auffallen!
Bei jedem Dreieck liegen der Höhenschnittpunkt $H$,
der Umkreismittelpunkt $U$ und der Schwerpunkt $S$
auf einer Geraden, die die eulersche Gerade
genannt wird.
Leonard Euler (1707 bis 1783) war ein berühmter Schweizer Mathematiker.
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