Mathematik 2 20210421.2

2007, 2024 Oskar Wagner

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Achte beim Lesen der Lektion darauf, dass du den Sinn jedes Absatzes erfasst.
Du musst jedes Beispiel verstehen und nachvollziehen können.

Die Hausübungskontrolle ist vollständig in das Hausübungsheft zu übertragen. Vergleiche die Ergebnisse mit deiner eigenen Hausübung, markiere dort die Beispiele entsprechend (richtige abhaken, falsche ankreuzen) und verbessere fehlerhafte Aufgaben.

Die Lektion ist als Schulübung vollständig in das Schulübungsheft zu schreiben.
Eine Ausnahme bilden die braun-kursiv geschriebenen Hinweise -- diese brauchst du nicht übertragen.
Arbeitsaufträge bei Beispielen sind im Heft zu erledigen.
Veranschlage einen Zeitaufwand von ungefähr einer Schulstunde (50 Minuten).

Die Hausübung (Aufgaben und Hinweise am Ende des Textes) ist im Hausübungsheft bis zum angegebenen Termin auszuführen.

86. Schulübung • 210421

Das Trapez

Ein Trapez hast du möglicherweise schon einmal im Zirkus gesehen. Das dort von Luftakrobaten eingesetzte Turngerät hat allerdings eine spezielle, gleichschenkelige Form.
In der Geometrie gilt allgemeiner:

Ein Trapez ist ein Viereck mit zwei parallelen Seiten.

Beschriftung:
A B C D a d b c e f α β γ γ δ δ

Es gilt:
$ \quad a \parallel c $
$ \quad \alpha + \delta = \beta + \gamma = 180\deg $ (supplementäre Winkel)
$\quad b$ und $d$ heißen Schenkel des Trapezes.

Die Winkelsumme beträgt wie in jedem ebenen Viereck $360\deg$.

B Konstruiere das Trapez: $a = 90\mm$, $d = 60\mm$, $\alpha = 75\deg$ und $\beta = 60\deg$ (o.W.).
Zeichne die Diagonalen ein und miss ihre Länge ab.
Finde ein Dreieck in der Figur, bei dem drei Bestimmungsstücke gegeben sind.
Ein solches Dreieck wie hier $ABD$ kannst du konstruieren.

KB:
A B C D a d α β
  1. $a \Raq A, B$
  2. $\alpha $
  3. $d \Raq D$
  4. Parallele zu $a$ durch $D$
  5. $\beta \Raq C$
$\beta$ ist ohne Winkelmesser zu konstruieren. Du weißt sicher noch, wie das geht.
A B C D a d b c e f
Die Längen der Diagonalen sind
$e = \ol{AC} = 8,1\cm$, $\quad$ $f = \ol{BD} = 9,4\cm$.

Allgemein hat ein Trapez keine Symmetrieachse. Es gibt aber symmetrische Trapeze:

Hat ein Trapez eine Symmetrieachse, so ist es ein gleichschenkeliges Trapez.
Die Schenkel sind dann gleich lang ($b = d$).

B Konstruiere das gleichschenkelige Trapez mit $a = 60\mm$, $e = 65\mm$ und $\gamma = 110\deg$.
Konstruiere den Umkreis und miss den Umkreisradius und die Diagonalen ab.

KB:
A B C D a e γ γ
  1. $a \Raq A, B$
  2. $\gamma $ bei $B$ (Parallelwinkel)
  3. Zirkel: $k(A, e) \Raq C$
  4. Parallele zu $a$ durch $C$
  5. Zirkel: $k(B, e) \Raq D$
Beachte, wie du den Winkel $\beta$ mit Hilfe des supplementären Parallelwinkels $\gamma$ erhältst.
Und du weißt ja schon: Der Umkreismittelpunkt ist der Schnittpunkt der Seitensymmetralen (SUM).
A B C D A B C D A B C D a d b c e f kU U rU
Der Umkreisradius beträgt $r_U = 3,5\cm$.
Die Längen der Diagonalen sind $ e = f = 6,5\cm $.

Ein gleichschenkeliges Trapez hat einige besondere Eigenschaften

Jedes gleichschenkelige Trapez besitzt eine Symmetrieachse und einen Umkreis.
Der Mittelpunkt des Umkreises liegt auf der Symmetrieachse.
Die Diagonalen eines gleichschenkeligen Trapezes sind gleich lang.

85. Hausübung

bis Dienstag (27. April)

Hinweise zur Durchführung:

Die Hausübung ist im Hausübungsheft bis zum angegebenen Termin auszuführen.