Mathematik 2 20210414.1

2007, 2024 Oskar Wagner

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$$ \def\Forall{\enskip \forall} \def\forthat{\;\bigm|\;} \def\hateq{\mathrel{\widehat{=}}} \def\hint#1{\quad\color{maroon}{\small\textit{#1}}} \def\stx#1{\small\textrm{#1}} \def\guide#1{\quad{\stx{#1}}} \def\ol#1{\overline{#1}} \def\lraq{ \quad\leftrightarrow\quad } \def\Lraq{ \quad\Leftrightarrow\quad } \def\ra{ \,\rightarrow\, } \def\raq{ \quad\rightarrow\quad } \def\Ra{ \,\Rightarrow\, } \def\Raq{ \quad\Rightarrow\quad } \def\ux#1{\;\textrm{#1}} \newcommand\m[1][]{#1\ux{m}} \newcommand\mm[1][]{#1\ux{mm}} \newcommand\cm[1][]{#1\ux{cm}} \newcommand\km[1][]{#1\ux{km}} \newcommand\qm[1][]{#1\ux{m}^2} \newcommand\cel[1][]{#1\,^\circ\textrm{C}} \newcommand\deg[1][]{#1\,^\circ} \newcommand\eur[1][]{#1\ux{€}} \newcommand\pct[1][]{#1\,\%} \newcommand\prm[1][]{#1\,{}^\text{o}\mkern-5mu/\mkern-3mu_\text{oo}} $$

Achte beim Lesen der Lektion darauf, dass du den Sinn jedes Absatzes erfasst.
Du musst jedes Beispiel verstehen und nachvollziehen können.

Die Hausübungskontrolle ist vollständig in das Hausübungsheft zu übertragen. Vergleiche die Ergebnisse mit deiner eigenen Hausübung, markiere dort die Beispiele entsprechend (richtige abhaken, falsche ankreuzen) und verbessere fehlerhafte Aufgaben.

Die Lektion ist als Schulübung vollständig in das Schulübungsheft zu schreiben.
Eine Ausnahme bilden die braun-kursiv geschriebenen Hinweise -- diese brauchst du nicht übertragen.
Arbeitsaufträge bei Beispielen sind im Heft zu erledigen.
Veranschlage einen Zeitaufwand von ungefähr einer Schulstunde (50 Minuten).

Die Hausübung (Aufgaben und Hinweise am Ende des Textes) ist im Hausübungsheft bis zum angegebenen Termin auszuführen.

78. Hausübungskontrolle
337.
a) $\frac{1}{5} = 0,2 = 20\pct \quad$ b) $\frac{1}{4} = 0,25 = 25\pct \quad$ d) $\frac{2}{3} = 0,\dot6 = 66,\dot6\pct $
341.
a) $\approx 40\pct \quad$ b) $\approx 70\pct $
342.
A6, B5, C1, D2, E4, F3
343.
c) in $\ux{kg}$:$\quad$ $\begin{array}{r} 0,06 & 0,03 & 0,6 \\ 0,075 & 0,0375 & 0,75 \\ 0,09 & 0,045 & 0,9 \\ 0,102 & 0,051 & 1,02 \end{array} $

81. Schulübung • 140421

Berechnung des Bruchteils

B Von $720$ Schulkindern sind $396$ Mädchen. Welcher Bruchteil der Schulkinder sind Mädchen?
Angegeben sind zwei Werte, die die gleiche Einheit (Kinder) tragen:
Der Grundwert $G$ und ein Anteilswert $A$, zu dem der gesuchte Bruchteil passen muss.
Grundwert $G = 720$ Kinder; $\quad$ Anteilswert $A = 396$ Mädchen.
Gesucht ist der Bruchteil $b$. Daher musst du die Formel so umformen, dass $b$ ausgedrückt wird. Dann kannst du $b$ berechnen.
$\begin{array}{r l} A &=& b \cdot G & \forthat : G \\ \frac{A}{G} &=& b \\ b &=& \frac{A}{G} \end{array} $
$ \Ra\quad b = \frac{396}{720} = \frac{198}{360} $ $ = \frac{99}{180} = \frac{33}{60} = \frac{11}{20} $ $ = 0,55 = \frac{55}{100} = 55\pct $
$55\pct$ der Schulkinder sind Mädchen.
Nicht: $55\pct$ sind Mädchen. Da bleibt offen: $55\pct$ wovon?

Der Bruchteil gibt das Verhältnis von Anteilswert zu Grundwert an.

$\begin{array}{c} b &=& \frac{A}{G} \\\small\text{Bruchteil} &=& \frac{\text{Anteilswert}}{\text{Grundwert}} \end{array} $

Letztesmal hast du beim Ermitteln der Steigung ebenfalls eine Verhältniszahl berechnet ($\frac{\Delta y}{\Delta x}$).

B In einem Geschäft A kostet ein Buch $14,55\eur$, in einem anderen Geschäft B $17,46\eur$,
Um welchen Bruchteil ist das Buch in B teurer als in A?
Die Frage ist unexakt gestellt. Richtig ist:
Um welchen Bruchteil des Preises im Geschäft A ist das Buch in B teurer?
Lies die Angabe und die Fragestellung genau:
Der Grundwert, auf den sich die Frage bezieht (..als in A), ist der Preis im Geschäft A.
Der Anteilswert, der dem gesuchten Bruchteil entspricht, ist die Preisdifferenz (..teurer..).
$ G = 14,55\eur $
$ A = 17,46\eur - 14,55\eur = 2,91\eur $
$ b = \frac{A}{G} = \frac{2,91\eur}{14,55\eur} = 0,2 = 20\pct $
Im Geschäft B ist das Buch um $20\pct$ teurer als im Geschäft A.
Die Antwort ist üblich, aber unexakt. Das merktst du sofort, wenn du den Bruchteil als Dezimalzahl schreibst:
Im Geschäft B ist das Buch um $0,2$ teurer als im Geschäft A.
Das ist sinnlos. $0,2$ ist eine Verhältniszahl ohne Einheit. Richtig ist:
Im Geschäft B ist das Buch um $20\pct$ des Preises in A teurer.
B Bei der letzten Klassensprecherwahl erhielt ein Kandidat $20$ Stimmen. Das waren $4$ Stimmen mehr als im Vorjahr.
Wieviel Prozent der Stimmen wurden hinzugewonnen?
Die Frage kann so nicht beantwortet werden, weil nicht angegeben ist, auf welchen Grundwert sich die Frage bezieht.
Ist die im Vorjahr oder die in diesem Jahr erhaltene Anzahl an Stimmen als Bezugswert gemeint?
Ein Ausweg ist, beide Varianten zu berechnen.

Wieviel Prozent der im Vorjahr erhaltenen Anzahl an Stimmen wurden hinzugewonnen?
Der Grundwert ist die Anzahl der im Vorjahr erhaltenen Stimmen:
$ G = 20\ux{Stimmen} - 4\ux{Stimmen} = 16\ux{Stimmen} $
$ A = 4\ux{Stimmen}$
$ b = \frac{A}{G} = \frac{4\ux{Stimmen}}{16\ux{Stimmen}} $ $ = \frac{4}{16} = \frac{1}{4} = 0,25 = 25\pct $
Der Kandidat gewann $25\pct$ der Anzahl der im Vorjahr erhaltenen Stimmen hinzu.

Wieviel Prozent der Anzahl der diesjährig erhaltenen Stimmen wurden hinzugwonnen?
Der Grundwert ist die Anzahl der dieses Jahr erhaltenen Stimmen:
$ G = 20\ux{Stimmen}$
$ A = 4\ux{Stimmen}$
$ b = \frac{A}{G} = \frac{4\ux{Stimmen}}{20\ux{Stimmen}} $ $ = \frac{4}{20} = \frac{1}{5} = 0,2 = 20\pct $
Der Kandidat gewann $20\pct$ der Anzahl der diesjährig erhaltenen Stimmen hinzu.

Die Wahl des Grundwerts hat natürlich einen wesentlichen Einfluss auf das Ergebniss.
Leider bedienen sich Medien (und sogar Schulbücher) oft keiner sprachlich exakten und mathematisch korrekten Ausdrucksweise bei der Darstellung solcher Sachverhalte.
Mache es selbst besser!

Die Nennung eines Bruchteils (Prozentsatzes) ohne einen dazugehörigen Bezugswert (Grundwert) ist im Allgemeinen sinnlos und sagt nichts aus.

80. Hausübung

bis Montag (19. April)

Hinweise zur Durchführung:

Die Hausübung ist im Hausübungsheft bis zum angegebenen Termin auszuführen.