Mathematik 2 20210118

2007, 2024 Oskar Wagner

| Start | Education | Fernunterricht | Mathematik 2
$$ \def\Forall{\enskip \forall} \def\forthat{\;\bigm|\;} \def\hateq{\mathrel{\widehat{=}}} \def\hint#1{\quad\color{maroon}{\small\textit{#1}}} \def\stx#1{\small\textrm{#1}} \def\guide#1{\quad{\stx{#1}}} \def\ol#1{\overline{#1}} \def\lraq{ \quad\leftrightarrow\quad } \def\Lraq{ \quad\Leftrightarrow\quad } \def\ra{ \,\rightarrow\, } \def\raq{ \quad\rightarrow\quad } \def\Ra{ \,\Rightarrow\, } \def\Raq{ \quad\Rightarrow\quad } \def\ux#1{\;\textrm{#1}} \newcommand\m[1][]{#1\ux{m}} \newcommand\mm[1][]{#1\ux{mm}} \newcommand\cm[1][]{#1\ux{cm}} \newcommand\km[1][]{#1\ux{km}} \newcommand\qm[1][]{#1\ux{m}^2} \newcommand\cel[1][]{#1\,^\circ\textrm{C}} \newcommand\deg[1][]{#1\,^\circ} \newcommand\eur[1][]{#1\ux{€}} \newcommand\pct[1][]{#1\,\%} \newcommand\prm[1][]{#1\,{}^\text{o}\mkern-5mu/\mkern-3mu_\text{oo}} $$

Achte beim Lesen der Lektion darauf, dass du den Sinn jedes Absatzes erfasst.
Du musst jedes Beispiel verstehen und nachvollziehen können.

Die Hausübungskontrolle ist vollständig in das Hausübungsheft zu übertragen. Vergleiche die Ergebnisse mit deiner eigenen Hausübung, markiere dort die Beispiele entsprechend (richtige abhaken, falsche ankreuzen) und verbessere fehlerhafte Aufgaben.

Die Lektion ist als Schulübung vollständig in das Schulübungsheft zu schreiben.
Eine Ausnahme bilden die braun-kursiv geschriebenen Hinweise -- diese brauchst du nicht übertragen.
Arbeitsaufträge bei Beispielen sind im Heft zu erledigen.
Veranschlage einen Zeitaufwand von ungefähr einer Schulstunde (50 Minuten).

Die Hausübung (Aufgaben und Hinweise am Ende des Textes) ist im Hausübungsheft bis zum angegebenen Termin auszuführen.

53. Hausübungskontrolle
710.
c) $H = (4,5/2,9)$
715.
1) $S(3,3/2,6)$ $\quad$ 2) $\ol{AS} = \ol{BS} = \ol{CS} = 2,8$ cm
3) Wegen 2) liegen die Punkte $B$ und $C$ ebenfalls auf dem Kreis.
806.
c) $a \hateq 90$ mm; $\quad \ol{SB} \hateq 46$ cm $\Ra \ol{SB} = 46$ m
807.
c) $S = (4,7/2,7)$
54. Hausübungskontrolle
793.
d) $r = 3,9$ cm
794.
1) $\ol{PQ} \hateq 90$ mm; $\quad \ol{QR} \hateq 70$ mm
2) Der Punkt für das Lagerhaus ist der Umkreismittelpunkt des Dreiecks $PQR$.
3) $r \hateq 51$ mm $r = 5,1$ km
796.
d) $U = (3,9/9,1)$; $\quad$ $r_U = 6,4$
806.
d) $a \hateq 47$ mm; $\quad b \hateq 58$ mm $\Ra b = 58$ m; $\quad \ol{SA} \hateq 36$ cm $\Ra \ol{SA} = 36$ m

56. Schulübung • 180121

Inkreis des Dreiecks

Du weißt bereits, dass es zu jedem Dreieck einen Kreis gibt, der durch die drei Eckpunkte geht.
Vielleicht hast du dich gefragt, ob es auch einen Kreis im Inneren des Dreiecks gibt, der die drei Seiten berührt.
Der Mittelpunkt eines solchen Inkreises muss von allen drei Seiten den gleichen Abstand $\rho$ haben (rho, $\rho$ ist ein griechischer Kleinbuchstabe).
Hast du eine Idee, wie du den Mittelpunkt findest?

B Zeichne das Dreieck, das durch die Punkte $A(1,5/1)$, $B(8,5/2,5)$ und $C(3/6)$ gegeben ist.
Konstruiere den Mittelpunkt $I$ des Inkreises $k_I$ und bestimme die Koordinaten des Inkreismittelpunkts.
Bestimme die Punkte $T_a$, $T_b$ und $T_c$, an denen der Inkreis die Seiten berührt.
Zeichne den Inkreis des Dreiecks und gib die Länge des Inkreisradius $\rho$ an.
Vermutlich hast du schon herausgefunden, wie man den Mittelpunkt des Inkreises bestimmt.
Der Inkreismittelpunkt soll von $b$ und $c$ gleich weit weg sein, daher muss er auf der Winkelsymmetrale $w_\alpha$ liegen.
$I$ ist ebenso von $a$ und $c$ gleich weit enfernt sein, also geht auch die Winkelsymmetrale $w_\beta$ (genauso wie $w_\gamma$) durch $I$.
Der Inkreismittelpunkt ist deshalb der Schnittpunkt der Winkelsymmetralen.
Zeichne das Dreieck und konstruiere die Winkelsymmetralen.
Bestimme die Berührpunkte auf den Seiten ($T_a$, $T_b$, $T_c$), indem du auf jede Seite die Normale durch den Inkreismittelpunkt konstruierst.
Damit hast du auch den Inkreisradius $\rho$ ermittelt und kannst den Inkreis zeichnen.
x y 0 2 4 6 8 2 4 6 A B C c a b Ta Tb Tc I wα wβ wγ x y 0 2 4 6 8 2 4 6 A B C c a b Ta Tb Tc I wα wβ wγ kI ρ
Der Inkreismittelpunkt hat die Koordinaten $\quad$ $I = (4,0/3,3)$.
Der Radius des Inkreises beträgt $\quad$ $\rho = 1,7$ cm.

Jedes Dreieck hat einen Inkreis $k_I$.
Die Seiten des Dreiecks sind Tangenten des Inkreises.
Der Mittelpunkt $I$ des Inkreises ist der Schnittpunkt der drei Winkelsymmetralen.

Mit dem Kürzel WIN (Winkelsymmetralen $\Ra$ INkreis) kannst du dir diesen Zusammenhang merken.

B Zeichne ein beliebiges Dreieck $ABC$ (etwa $a = 7$ cm, $b = 6$ cm, $c = 8$ cm).
Konstruiere den Inkreis und einen weiteren, möglichst kleinen konzentrischen Kreis, der das Dreieck enthält.
Bestimme die Dicke des Kreisrings.
Konzentrische Kreise haben denselben Mittelpunkt. Zwei konzentrischen Kreise bilden einen Kreisring.

KB:
A B C a b c
  1. $c \Raq A, B$
  2. Zirkel: $k(A,b) \cap k(B,a)$ $\Raq C$
Zeichne das Dreieck und konstruiere zunächst die Winkelsymmetralen, die Berührpunkte und dann den Inkreis.
Für den Kreisring brauchst du noch einen zweiten Kreis, der durch jenen Eckpunkt geht, der vom Inkreismittelpunkt die größte Entfernung hat.
Die Dicke des Kreisrings ist der Abstand des inneren vom äußeren Kreis.
A B C c a b Ta Tb Tc I ρ d
Der Radius des Inkreises beträgt $\quad$ $\rho = 1,9$ cm.
Die Dicke des Kreisrings ist $\quad$ $d = 3,0$ cm.
56. Hausübung

bis Mittwoch (20. Jän.)

Hinweise zur Durchführung:

Die Hausübung ist im Hausübungsheft bis zum angegebenen Termin auszuführen.