Mathematik 2 20201202.1

2007, 2024 Oskar Wagner

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$$ \def\Forall{\enskip \forall} \def\forthat{\;\bigm|\;} \def\hateq{\mathrel{\widehat{=}}} \def\hint#1{\quad\color{maroon}{\small\textit{#1}}} \def\stx#1{\small\textrm{#1}} \def\guide#1{\quad{\stx{#1}}} \def\ol#1{\overline{#1}} \def\lraq{ \quad\leftrightarrow\quad } \def\Lraq{ \quad\Leftrightarrow\quad } \def\ra{ \,\rightarrow\, } \def\raq{ \quad\rightarrow\quad } \def\Ra{ \,\Rightarrow\, } \def\Raq{ \quad\Rightarrow\quad } \def\ux#1{\;\textrm{#1}} \newcommand\m[1][]{#1\ux{m}} \newcommand\mm[1][]{#1\ux{mm}} \newcommand\cm[1][]{#1\ux{cm}} \newcommand\km[1][]{#1\ux{km}} \newcommand\qm[1][]{#1\ux{m}^2} \newcommand\cel[1][]{#1\,^\circ\textrm{C}} \newcommand\deg[1][]{#1\,^\circ} \newcommand\eur[1][]{#1\ux{€}} \newcommand\pct[1][]{#1\,\%} \newcommand\prm[1][]{#1\,{}^\text{o}\mkern-5mu/\mkern-3mu_\text{oo}} $$

Zur Erinnerung: Die nächste Mathematik-Schularbeit findet bald statt.

Mathematik-Schularbeit am 16. Dezember 2020

Themen dieser Schularbeit:

Achte beim Lesen der Lektion darauf, dass du den Sinn jedes Absatzes erfasst.
Du musst jedes Beispiel verstehen und nachvollziehen können.

Die Hausübungskontrolle ist vollständig in das Hausübungsheft zu übertragen. Vergleiche die Ergebnisse mit deiner eigenen Hausübung, markiere dort die Beispiele entsprechend (richtige abhaken, falsche ankreuzen) und verbessere fehlerhafte Aufgaben.

Die Lektion ist als Schulübung vollständig in das Schulübungsheft zu schreiben.
Eine Ausnahme bilden die braun-kursiv geschriebenen Hinweise -- diese brauchst du nicht übertragen.
Arbeitsaufträge bei Beispielen sind im Heft zu erledigen.
Veranschlage einen Zeitaufwand von ungefähr einer Schulstunde (50 Minuten).

Die Hausübung (Aufgaben und Hinweise am Ende des Textes) ist im Hausübungsheft bis zum angegebenen Termin auszuführen.

38. Hausübungskontrolle
784.
b) $\alpha = 49^\circ$
785.
b) $c = 55$ mm; $c_1 = 99$ mm
786.
b) 1) D $\qquad$ 2) $b = 82$ mm
787.
b) $\ol{AB} \hateq 76$ mm; $\quad \ol{AP} \hateq 57$ mm $\Ra \ol{AP} = 114$ m; $\quad \ol{BP} \hateq 71$ cm $\Ra \ol{BP} = 142$ m

38. Schulübung • 021220

(Addieren und Subtrahieren von Brüchen)

B Eine Teststation hat 108 Infizierte ermittelt.
Von diesen sind $\frac{1}{12}$ jünger als 15 Jahre, $\frac{1}{3}$ zwischen 15 und 35 Jahre und $\frac{4}{9}$ zwischen 35 und 60 Jahre alt. Der Rest ist älter als 60 Jahre.
  1. Berechne die Summe dieser Bruchteile.
    Die Nenner sind $12$, $3$ und $9$. Bestimme den gemeinsamen Hauptnenner.
    $12 = 2 \cdot 2 \cdot 3$; $\qquad 3 = 3$; $\qquad 9 = 3 \cdot 3$
    $ \Ra $ kgv$(12, 3, 9) = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 36$
    Erweitere jeden Bruch auf den Hauptnenner.
    $\displaystyle{ \begin{array}{r l} \frac{1}{12} + \frac{1}{3} + \frac{4}{9} & = \frac{1 \cdot 3}{12 \cdot 3} + \frac{4 \cdot 4}{9 \cdot 4} \\ & = \frac{3}{36} + \frac{12}{36} + \frac{16}{36} \\ & = \frac{3 + 12 + 16}{36} = \frac{31}{36} \end{array} }$
  2. Wie groß ist der Bruchteil der über 60-jährigen Infizierten an allen Infizierten?
    Wieviele von den 108 Infizierten sind das?.
    Das Verhältnis (Bruchteil) aller 108 Infizierten zu allen 108 Infizierten ist $108:108 = \frac{108}{108} = 1$ (ein Ganzes).
    Überlege, wieviel auf das Ganze fehlt.
    $ 1 - \frac{31}{36} = \frac{36}{36} - \frac{31}{36} = \frac{5}{36} $
    Der Bruchteil der über 60-jährigen Infizierten an allen Infizierten beträgt $\frac{5}{36}$.

    Mit Hilfe des Bruchteils kannst du nun den Anteil der über 60-jährigen Infizierten bestimmen:
    $ \frac{5}{36}$ von $108$ Infizierten $= \frac{5}{36} \cdot 108 $ $ = 5 \cdot \frac{108}{36} = 5 \cdot 3 = 15$
    15 Infizierte sind über 60 Jahre alt.
  3. Drücke jeden der vier Bruchteile in Prozent aus (auf eine Nachkommastelle gerundet).
    Wandle jeden Bruchteil zunächst durch Ausführen der Division (Nebenrechnung) in eine Dezimalzahl um.
    jünger als 15 Jahre: $\quad\frac{1}{12} = 1 : 12 = 0,08\dot{3} \approx 8,3\,\%$
    15 bis 35 Jahre: $\quad\frac{1}{3} = 1 : 3 = 0,\dot{3} \approx 33,3\,\%$
    35 bis 60 Jahre: $\quad\frac{4}{9} = 4 : 9 = 0,\dot{4} \approx 44,4\,\%$
    älter als 60 Jahre: $\quad\frac{5}{36} = 5 : 36 = 0,13\dot{8} \approx 13,9\,\%$
    Beachte, dass beim letzten Wert aufzurunden ist: $13,888\dots \approx 13,9$

Wenn große Nenner auftreten, brauchst du Primfaktorzerlegungen, um das kgV der einzelnen Nenner zu finden.

B Berechne und kürze das Ergebnis soweit wie möglich:
$\displaystyle{ \quad \frac{2}{3} - \frac{3}{14} + \frac{5}{12} - \frac{5}{28} =}$
Um den gemeinsamen Hauptnenner (HN) zu finden, werden die einzelnen Nenner in Primfaktoren zerlegt, und das kgV(3, 14, 12, 28) gebildet.
$\displaystyle{ \begin{array}{r l} & \textsf{Nenner} \\ 3 & = 3 \\ 14 & = 2 \cdot 7 \\ 12 & = 2 \cdot 2 \cdot 3 \\ 28 & = 2 \cdot 2 \cdot 7 \\\hline HN & = 3 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 2 = 84 \end{array} }$
Die Faktoren, mit denen du jeden einzelnen Bruch erweitern musst, ergänzt du in der obigen Tabelle.
Schreibe bei jedem Nenner die auf den Hauptnenner fehlenden Erweiterungsfaktoren dazu.
$\displaystyle{ \begin{array}{r l | l} & \textsf{Nenner} & \textsf{Erweiterungsfaktoren} \\ 3 & = 3 & 2 \cdot 7 \cdot 2 = 28 \\ 14 & = 2 \cdot 7 & 3 \cdot 2 = 6 \\ 12 & = 2 \cdot 2 \cdot 3 & 7 \\ 28 & = 2 \cdot 2 \cdot 7 & 3 \\\hline \text{HN} & = 3 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 2 = 84 & \end{array} }$
Nun kannst du die einzelnen Brüche mit dem jeweiligen Erweiterungsfaktor erweitern und anschließend zusammenfassen:
$\displaystyle{ \begin{array}{r l} \frac{2}{3} - \frac{3}{14} + \frac{5}{12} - \frac{5}{28} & = \frac{2 \cdot 28}{3 \cdot 28} - \frac{3 \cdot 6}{14 \cdot 6} + \frac{5 \cdot 7}{12 \cdot 7} - \frac{5 \cdot 3}{28 \cdot 3} \\ & = \frac{56}{84} - \frac{18}{84} + \frac{35}{84} - \frac{15}{84} \\& = \frac{56 - 18 + 35 - 15}{84} = \frac{58}{84} = \frac{29}{42} \end{array} }$
Vergiss nicht, das Ergebnis soweit wie möglich zu kürzen.
40. Hausübung

bis Montag (7. Dez.)

Hinweise zur Durchführung:

Die Hausübung ist im Hausübungsheft bis zum angegebenen Termin auszuführen.